1694年5月，在時(shí)任劍橋大學(xué)盧卡斯數(shù)學(xué)教授的牛頓（Isaac Newton），與蘇格蘭天文學(xué)家兼數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·格雷戈里（David Gregory）會面。據(jù)后世記載，他們曾討論過一個(gè)看似“天文學(xué)”卻又深具幾何意味的問題：如果把太陽看作一個(gè)“中心球”，那么在三維空間中，圍繞它最多可以放置多少個(gè)大小相同的“行星球”而使它們都與中心球僅在一個(gè)點(diǎn)上接觸（即相切），又彼此不發(fā)生重疊？這段對話的真?zhèn)坞m仍存爭議，卻由此引出了一個(gè)延續(xù)數(shù)百年的數(shù)學(xué)難題——“吻接數(shù)問題”（Kissing Number Problem）。

牛頓與格雷戈里進(jìn)行討論引出了“吻接數(shù)問題”

（圖片來源：作者AI生成）

2024年11月7日，美國麻省理工學(xué)院的李安琪與導(dǎo)師亨利·科恩（Henry Cohn）在這一問題上取得新進(jìn)展：他們提出了全新的幾何構(gòu)造，使球體在17至21維空間中能夠以更加緊湊的方式彼此“接觸”，這也是自20世紀(jì)60年代以來在這些維度區(qū)間內(nèi)的首次重要突破。

三維“吻接數(shù)問題”是怎么解決的？

讓我們先回到數(shù)個(gè)世紀(jì)前的討論上。在三維空間里，可以很容易在中心球周圍放置12個(gè)球，使得每個(gè)球都跟中心球相切。然而，這種排布在球與球之間還留有空隙。是否存在第13個(gè)球能夠塞進(jìn)多出來的空間中？格雷戈里認(rèn)為可以，牛頓則堅(jiān)持12已是極限。

三維空間的吻接數(shù)為12

（圖片來源：Quantamagazine）

1952年，數(shù)學(xué)家許特（Kurt Schütte）和范德瓦爾登（Bartel Leendert van der Waerden）運(yùn)用了一種巧妙的“降維”思路，將三維問題轉(zhuǎn)化為球面上的幾何問題，從而為牛頓與格雷戈里跨越兩個(gè)多世紀(jì)的爭論畫下句號——牛頓是對的，三維空間中可圍繞中心球緊密排布的最大球數(shù)是12。

考慮中心球周圍要放置N個(gè)接觸球，每個(gè)接觸球都必須與中心球相切，并且不能相互重疊。所以證明目標(biāo)就是：N=12是可行的，并且N=13會導(dǎo)致至少兩個(gè)接觸球發(fā)生重疊，從而不可能實(shí)現(xiàn)。

我們設(shè)單位球的球心為O，周圍所有N個(gè)接觸球的球心P₁,P₂,...,P_N都位于單位球的表面上。我們定義單位向量：V_i=OP_i代表從中心到接觸球球心的向量。任意兩個(gè)接觸球的球心形成的夾角θij由向量點(diǎn)積公式計(jì)算：cosθ_ij=v_i?v_j。如果N個(gè)接觸球均勻分布在單位球表面，它們之間的最小夾角θmin應(yīng)該盡可能大，以避免重疊，它們的最小夾角大約為60°到63.4°。但如果我們嘗試放入第?13 個(gè)接觸球，則這個(gè)新球必須找到一個(gè)空位，而它與其他球的夾角將變小。計(jì)算表明，至少有兩個(gè)接觸球的夾角θ_ij會小于所需的最小角度，導(dǎo)致它們的球面區(qū)域發(fā)生重疊。這也就證明了，三維空間的吻接數(shù)是12。

具體來說，他們先將中心球與外圍球的球心“投影”到單位球面上：把外圍球的球心與中心球的球心連線，并將該連線延伸至與單位球面相交。由于外圍球都與中心球相切，被投影到球面上的點(diǎn)彼此之間必須保持一定的最小夾角，以免對應(yīng)的外圍球產(chǎn)生重疊。

接著，他們在球面上為每個(gè)投影點(diǎn)劃定一個(gè)不互相重疊的球冠，并發(fā)現(xiàn)：如果試圖放置超過12個(gè)點(diǎn)，這些球冠的總面積就會超過球面可提供的總面積，從而形成邏輯上的矛盾。這也就證明了，三維空間的吻接數(shù)是12。

那其他維度的“吻接數(shù)問題”呢？

吻接數(shù)問題同樣適用于任意維度的球。在一維空間，一條直線上中心球兩側(cè)可以各接觸1個(gè)球，共吻接2個(gè)球。在二維空間里，情況同樣一目了然：在桌上放一枚硬幣，周圍最多可圍上6枚緊貼它的硬幣，宛如一朵雛菊盛開。那么，若維度繼續(xù)提升，情況又會如何呢？

二維空間的吻接數(shù)為6

（圖片來源：Quantamagazine）

在數(shù)學(xué)中，維度表示描述空間所需的獨(dú)立方向數(shù)。例如，一維空間是一條直線，只有長度；二維空間是一個(gè)平面，具有長和寬，比如紙張上的圖形；三維空間則是我們?nèi)粘Ｉ钪械牧Ⅲw空間，包括長、寬、高。四維及更高維度則屬于數(shù)學(xué)中的抽象概念，每增加一個(gè)維度，就意味著多了一個(gè)獨(dú)立的方向。

舉個(gè)生活中的例子：假設(shè)你每天記錄體重、身高、血壓、睡眠時(shí)長4個(gè)數(shù)據(jù)，你的健康狀態(tài)就可以看作一個(gè)四維空間中的點(diǎn)，你的健康狀態(tài)可以看作四維空間中的一個(gè)點(diǎn)，每個(gè)指標(biāo)對應(yīng)一個(gè)維度?！扒颉眲t代表所有滿足某種條件（如健康評分范圍）的數(shù)據(jù)集合。

隨著維度的升高，吻接數(shù)問題會變得更加復(fù)雜。這是因?yàn)槊吭黾右粋€(gè)維度，球體的接觸點(diǎn)排列方式都會呈指數(shù)級增長。在三維空間中，最多只能有12個(gè)球圍繞中心球緊密貼合，而在24維空間，這一數(shù)目則暴增至近20萬個(gè)，它們以超對稱晶格的方式排列，猶如一張極為精密的編織網(wǎng)。而在24維中驗(yàn)證這近二十萬個(gè)點(diǎn)是否重疊，涉及了1933億次計(jì)算。。

此外，高維空間中的球體幾何性質(zhì)與低維空間大相徑庭，常常顛覆我們的直覺。例如，在100維空間中，一個(gè)邊長為1的超立方體（即100維正方體）的對角線長度約為10，而在二維情況下，它僅為√2。這一現(xiàn)象表明，高維球體之間的“安全距離”需要更復(fù)雜的計(jì)算，傳統(tǒng)排列方式可能不再合適，數(shù)學(xué)家需借助抽象代數(shù)、信息論甚至物理中的弦理論工具。

高維度的“吻接數(shù)問題”現(xiàn)況如何？

為了解決在高維度的吻接數(shù)問題，數(shù)學(xué)家們各顯神通。

2008年，奧列格·穆辛（Oleg Musin）基于德爾薩特（Delsarte）線性規(guī)劃技術(shù)，通過分析球體排列的對稱性，并結(jié)合球面調(diào)和分析，嚴(yán)格證明了四維空間的吻接數(shù)為24。

在8維空間中，人們長期認(rèn)為E??格是最優(yōu)的球體密堆積方式，但一直缺乏嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。線性規(guī)劃方法只能給出上界（≤240），而不能直接證明 E??晶格可以達(dá)到240。2016年，烏克蘭數(shù)學(xué)家瑪麗娜·維亞佐夫斯卡（Maryna Viazovska）通過構(gòu)造一種特殊的傅里葉變換插值函數(shù)，在?E??晶格的 240 個(gè)接觸點(diǎn)上，這個(gè)函數(shù)給出了最優(yōu)的距離信息，在所有其他點(diǎn)上，它的傅里葉變換也保證不會允許更多的球進(jìn)入。因此，8維空間的吻接數(shù)為240。

因成功解決8維的吻接數(shù)問題，維亞佐夫斯卡于?2022 年榮獲數(shù)學(xué)界最高榮譽(yù)——菲爾茲獎(jiǎng)，成為歷史上第二位獲得該獎(jiǎng)項(xiàng)的女性

（圖片來源：EPFL）

隨后在2017年，維亞佐夫斯卡與亨利·科恩等合作者，采用與8維空間相似的傅里葉分析方法，進(jìn)一步證明了利奇（Leech）格是24維空間中最密的球體堆積結(jié)構(gòu)，吻接數(shù)達(dá)196560。

這些方法高度依賴于對稱性，因此，在某些對稱性較弱的維度（如5、6、7維等），計(jì)算最大吻接數(shù)變得極其困難。目前，四維（24）、八維（240）和二十四維（196560）是僅有的三個(gè)已被嚴(yán)格證明的高維吻接數(shù)。

因此，2022年，李安琪與她的導(dǎo)師亨利·科恩選擇了放棄對稱性，“離經(jīng)叛道”地去選擇一些“怪異的結(jié)構(gòu)”。他們通過翻轉(zhuǎn)坐標(biāo)符號（奇偶性調(diào)整），構(gòu)造出非對稱的球體排布，在17-21維中發(fā)現(xiàn)了新的空隙。多個(gè)近期結(jié)果都支持這些不太容易獲得的結(jié)構(gòu)的前景。在過去兩年里，數(shù)學(xué)家們通過扭曲或者打破常規(guī)的對稱性規(guī)則，得出了5、10和11維中巧妙的新構(gòu)造。數(shù)學(xué)家們逐漸發(fā)現(xiàn)，在某些高維空間中，非對稱結(jié)構(gòu)可能比傳統(tǒng)的對稱晶格更優(yōu)。

不過，這離徹底解決這個(gè)問題還有很遠(yuǎn)的距離。亨利·科恩說：“也許我們離真相還很遠(yuǎn)，因?yàn)樗]有一種直觀易懂的描述。”

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徹底解決“吻接數(shù)問題”有何意義？

那么，徹底解決這個(gè)問題究竟有什么意義呢？

徹底解決吻接數(shù)問題不僅是數(shù)學(xué)上的一項(xiàng)重要挑戰(zhàn)，還在通信、人工智能和物理學(xué)等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用。

在數(shù)學(xué)上，它涉及高維幾何、優(yōu)化理論、數(shù)論和代數(shù)幾何，推動(dòng)高維空間優(yōu)化與編碼理論的發(fā)展。在無線通信和量子通信中，數(shù)據(jù)點(diǎn)的高維排列影響信號傳輸效率，例如：格雷碼在24維空間的最優(yōu)排列與與利奇格吻合，曾應(yīng)用于NASA的旅行者1號；被而5G和量子加密中的超立方體碼也依賴高維結(jié)構(gòu)優(yōu)化。此外，在機(jī)器學(xué)習(xí)中，高維數(shù)據(jù)分析需要優(yōu)化聚類和距離度量，而吻接數(shù)問題的研究有助于提升大規(guī)模數(shù)據(jù)處理和模式識別的準(zhǔn)確性。在物理學(xué)領(lǐng)域，弦理論認(rèn)為宇宙可能存在10維或11維，高維幾何為統(tǒng)一相對論與量子力學(xué)提供了重要的數(shù)學(xué)框架。

因此，徹底解決吻接數(shù)問題不僅回答了經(jīng)典數(shù)學(xué)難題，也將推動(dòng)多個(gè)科學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展。

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參考文獻(xiàn)：

[1] Mathematicians Discover New Way for Spheres to ‘Kiss’,Quantamagazine. https://www.quantamagazine.org/mathematicians-discover-new-way-for-spheres-to-kiss-20250115/

[2]?Schütte K,van der Waerden B.?L. Das Problem der dreizehn Kugeln[J]. Mathematische Annalen,1952,125(1):325-334.

[3]?Musin O R. The kissing number in four dimensions[J]. Annals of Mathematics,2008: 1-32.

[4]?Viazovska M S.?The sphere packing problem in dimension 8[J]. Annals of mathematics,2017: 991-1015.

[5]?Cohn H,Kumar A,Miller S,et al.?The sphere packing problem in dimension 24[J]. Annals of Mathematics,2017,185(3):1017-1033.