有很長一段時間，大約是幾百年，人們對“零”意義和作用的認識是有些模糊的。其實這也很好理解，因為“零”的意思不像其他的數(shù)字那么直觀。設(shè)想在古時候，如打獵打到一頭野豬，兩只野兔和三只野雞，這個數(shù)量都是可以一個一個數(shù)出來的，人們就是借助實際的物體的數(shù)量來認識這些數(shù)字的。當(dāng)時人們并沒有考慮用什么東西代表“沒有”這種情形。到后來在數(shù)量增大到一定程度的時候，有了“進位”問題的時候，人們才用一個圓形圈或方形的口的符號來代表空位，但它只是被當(dāng)作一個特殊的對象來看待，它并不能參與運算，所以在一個相當(dāng)長的時間里，人們都沒有給“零”一個合法的數(shù)字身份。

今天人們能夠很容易地理解“有幾個”與“一個都沒有”只是在數(shù)量的多少上有區(qū)別，還有在除法運算中“零”不能做分母,除此之外，它其他九個數(shù)字的地位都是一樣的，一樣可以參與數(shù)學(xué)的運算。盡管古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家很早就對“數(shù)”性質(zhì)和關(guān)系有很多的研究，如奇數(shù)、偶數(shù)、完美數(shù)，親和數(shù)等，但是他們對零并沒有給予太多的關(guān)注。希臘哲學(xué)家亞里士多德認為，“零”是非法的，它破壞了一致性，把“零”當(dāng)作一個普通的數(shù)會導(dǎo)致不可理解的結(jié)果。他當(dāng)時可能是沒有辦法來解決，“零”作為分母時，怎么解釋它的意義和定義它的結(jié)果。這樣一個對現(xiàn)代人來說是微不足道的問題，然而在古代有好幾百年都一直無法取得突破。

“零”的意義

恩格斯曾說過：“零是任何一個確定的量的否定，所以不是沒有內(nèi)容的。相反地，零是具有非常確定的內(nèi)容的�！�…零不只是一個非常確定的數(shù)，而且它本身比其他一切被它所限定的數(shù)都更重要，事實上，零比其他一切數(shù)都有更豐富的內(nèi)容�！�

在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中，“零”在不同的情況下有多種含義。

1  表示“空位”的零，在位值制記數(shù)法中，零作為填補空位的符號。單獨一個空位零不具有任何數(shù)量意義，必須依附于另一個非零數(shù)碼，才能表達數(shù)量。早期巴比倫楔形文書和宋元以前的中國籌算記數(shù)法，都留出空位表示零，只是沒有符號。

2  表示“沒有”的零——數(shù)量零（或絕對零、“整數(shù)零”），零在任何計量單位中表示“沒有”、“無”。

3  分析學(xué)家眼中的極限零，就像惠施說的：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭�！钡暮�義。 華羅庚說：“當(dāng)n大時，雖小，但并不是零，這就是萬年不竭的道理�！睂嶋H上，分析學(xué)家運用求極限的方法得到的極限零是一個無窮小量。

“零”的表示

“零”作為記數(shù)法中的“空位”，在位值制記數(shù)方式的文明中不可缺少，只不過各種文明采取不同的方式，大部分文明沒有引入數(shù)碼而以空位表示。公元前3世紀(jì)，巴比倫人曾引進專門記號表示空位，宋元以前的中國籌碼記數(shù)等，印度人和瑪雅人采用了符號，瑪雅20進位制中的零用有像眼睛或貝殼的符號表示。但他們的表示方法并不完善。

“零”最初是用空格口表示，后用點●表示，而用圓圈符號“0”表示“零”也是印度人的一項偉大發(fā)明，它最早出現(xiàn)于9世紀(jì)，人們在一個叫“瓜廖爾”的地方的一塊石碑上發(fā)現(xiàn)了它。

實際上，人們在對于“零”的意義和作用的認識花了更長的時間，因此遲到的“0”，并非是“零”的概念和意義不存在，而是對它一直沒有完整和清晰的認識。

下面我們來看人們是經(jīng)歷了一個怎樣漫長的過程才認識“零”的。

“零”的認識過程　

▲ 公元前3000年，巴比倫人就已經(jīng)懂得使用零來避免混淆。

▲ 公元前2500年左右，印度最古老的文獻《吠陀》已有“0”這個符號的應(yīng)用，當(dāng)時它表示空的位置。

▲ 公元前七、八世紀(jì)，印度人就普遍使用十進位值制記數(shù)法，婆羅米文字中出現(xiàn)過九個數(shù)碼，梵文中都出現(xiàn)過，一種流行的觀點是認為印度人以零表示“無”概念與佛教的“空”（梵文）有關(guān)，但這種說法沒有明確的根據(jù)，只不過這種意義的確是較早地出現(xiàn)于印度文明中。

▲據(jù)史料記載，托勒密在公元一百三十年左右時使用巴比倫人的六十進制系統(tǒng)連同表示空白位置的符號O。這個期間托勒密在數(shù)字間及數(shù)字尾端使用這個符號。這時把零看作空位置的思想基本上是確立了。在這個時候，人們看到的O，它代表的是空位。 

▲  事實上有證據(jù)顯示在公元二百年的印度就有位置數(shù)字系統(tǒng)的空白位置表示符號的使用了，但是一些歷史家將它們視為偽造而不去注意到它們。 　 

▲ 到公元前三世紀(jì)，印度出現(xiàn)了整套的數(shù)字，但在各地區(qū)的寫法并不完全一致，其中最有代表性的是婆羅門式：這一組數(shù)字在當(dāng)時是比較常用的。它的特點是從“1”到“9”每個數(shù)都有專字。現(xiàn)代數(shù)字就是由這一組數(shù)字演化而來。在這一組數(shù)字中，還沒有出現(xiàn)“0”（零）的符號。

關(guān)于公元前二世紀(jì)至公元后三世紀(jì)的印度數(shù)學(xué)，可考證的資料非常少，但值得慶幸的是1881年在今天的巴基斯坦西北地區(qū)發(fā)現(xiàn)了這一時期的，書寫在樺樹皮上的所謂“巴克沙利（bakhshali）手稿”。 特別值得注意的是該書使用了一些數(shù)學(xué)符號，出現(xiàn)了10個完整的十進制數(shù)碼，用點●表示“零”。

▲ “0”這個數(shù)字是到了笈多王朝（公元320—550年）時期才出現(xiàn)的。在公元四世紀(jì)完成的數(shù)學(xué)著作《太陽手冊》中，已使用“0”的符號，當(dāng)時只是實心小圓點“ ●”。 這樣一套從“0”到“9”的數(shù)字就趨于完善了。這是古代印度人民對世界文化的巨大貢獻。

▲ 公元550年印度天文學(xué)家瓦拉哈米希拉論述了0的加減運算。

▲ 公元628年婆羅摩笈多在《宇宙開端》中寫道：“負數(shù)減去零是負數(shù)，正數(shù)減去零是正數(shù)，零減去零什么也沒有……”，但是仍然沒有把零當(dāng)作與其他數(shù)字一樣看待。

▲ 可以確定的是在公元650年左右，印度的數(shù)學(xué)家就把“零”當(dāng)作一個數(shù)字了。

▲ 公元773年，印度一位天文學(xué)家在訪問現(xiàn)伊拉克首都巴格達期間，將印度的這種記數(shù)法介紹給了阿拉伯人，這樣就將印度數(shù)字傳入了阿拉伯，后來又傳至歐洲。歐洲人接受了它，由于是從阿拉伯傳入歐洲的，所以稱之為阿拉伯?dāng)?shù)字，成為國際通用的數(shù)字系統(tǒng)。

▲ 用圓圈符號“0”表示“零”也是印度人的一項偉大發(fā)明，目前掌握的最早的證據(jù)是公元876年，“0”出現(xiàn)在一個叫瓜廖爾的地方的一塊石碑上。

▲ 大約在11世紀(jì)，有十個數(shù)字的完整印度數(shù)字系統(tǒng)趨于成熟。印度人不僅把“0”看作是記數(shù)法中的空位，而且也把它看成是可參與運算的一個特殊的數(shù)。

印度人是比較早從他們的 “無” 與學(xué)的“空”，來感知“零”的。我們看到 從僅僅表示有無和空位到把看成一個與其他數(shù)字一樣可以參與運算的數(shù)，大約是經(jīng)過了幾百年，跨出這一步是多么的艱難。

▲ 印度人的概念向東延伸到了中國，在公元1247年中國數(shù)學(xué)家秦九韶所寫的數(shù)學(xué)專論中就使用了O 這個符號來代表零。

▲  公元1202年斐波那契在《算盤書》中，正式介紹，“這是印度的九個數(shù)碼：987654321， 加上阿拉伯人稱之為“零” 的符號“0”，任何數(shù)都能夠表示出來�！�

 斐波那契是最早將有關(guān)數(shù)字系統(tǒng)的新觀念帶進歐洲的重要人物，但是斐波那契并不能勇敢地把零看成是與其它九個數(shù)字一樣的數(shù)，證據(jù)是他只是把“零”讀做“符號”零，卻不是叫做“數(shù)字”零。因此盡管將印度數(shù)字介紹給歐洲人是斐波那契為數(shù)學(xué)的發(fā)展作出的最重要的貢獻，但是他對零的認識還沒有達到印度數(shù)學(xué)家和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家們那樣清晰的程度，特別是對“零”是數(shù)字這個事實，他還是有些猶豫的。 

如果你細心觀察的話，會發(fā)現(xiàn)羅馬數(shù)字中沒有“零”。其實在公元5世紀(jì)時，“0”已經(jīng)傳入羅馬。但羅馬教皇兇殘而且守舊。他不允許任何使用“0”。有一位羅馬學(xué)者在筆記中記載了關(guān)于使用“0”的一些好處和說明，就被教皇召去，施行了拶刑，使他再也不能握筆寫字。

實際上，用“零”代表“沒有”和“零”的概念一直存在著，同時用“零”表示空位的方法也是長期一直都在使用，但是把“沒有”，“空、占位”和無窮小量等多個意義集成在一起，賦予“零”一個比較完整的意義，這是一直到公元1600年前后才實現(xiàn)的，人們到那時才對“零”有了比較清晰的認識，我們看到認識零的過程前后大約經(jīng)歷了數(shù)千年時間。

大家都知道數(shù)學(xué)具有抽象性的特點，而從人們認識“零”的過程，你會發(fā)現(xiàn)其實完成“零”這個概念的抽象，其實是經(jīng)過多么漫長的過程，并不像想象中那么的簡單。我們現(xiàn)在無法想象沒有“零”的時候，對許多的數(shù)學(xué)研究有多么的不方便。卡丹在沒有使用到零的情形下，解決了三次及四次的方程式。如果他那個時候就有“零”的話，他會比較容易的發(fā)現(xiàn)和解決這些問題。

回過頭來看，我們可以說，首先把“零”看成是一個數(shù)字，而不是一個特殊的符號，使它能夠參與運算，就是一個非常重大的進步；其次“零”與負數(shù)以及無窮小量的思想引入，在數(shù)學(xué)史上都是非常重大的思想突破。

法國著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾經(jīng)寫道：“用十個記號來表示一切的數(shù)，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度�！�

專門研究數(shù)論的數(shù)學(xué)大師哈代有一次到印度去領(lǐng)一個獎，他被邀請在會上發(fā)表演說。他上臺第一句話說：“印度對人類的貢獻是‘零’�！� 這時全場鴉雀無聲，人們在愣了三秒鐘之后才反映過來，然后全場哄堂大笑。數(shù)學(xué)大師用最簡單的一句話，將“印度人對數(shù)學(xué)所做的重要貢獻”高度概括出來，真是讓人佩服和傾倒。陳之藩先生盛贊哈代說：“這是幾百年才可能培養(yǎng)出來的花朵�！�

“零”這個數(shù)字真的是印度人對數(shù)學(xué)的一個大貢獻。沒有“零”，不僅是數(shù)字系統(tǒng)不完整，還有許多數(shù)學(xué)概念的發(fā)展就會遇到很大困難，知識系統(tǒng)的形成就會有很大的不同�！傲恪边@個概念實在是太重要了，因此人們對“零”有了比較清楚的認識被看作是在數(shù)學(xué)發(fā)展史上取得的重要進展。在我國古代“零”叫做金元數(shù)字,意即極為珍貴的數(shù)字。

關(guān)于零的歷史，有兩本書《從零開始》和《零的故事》是專門講述這個專題的，從巴比倫開始，經(jīng)過希臘、印度、阿拉伯、中世紀(jì)、科學(xué)時代，一直講到二十世紀(jì)，里面有許多的關(guān)于零的有趣的故事。你如果有興趣，可以讀一讀。