哈密頓在物理學和數(shù)學領域里都有杰出的成就，他是一位勤奮工作而酷愛真理的人。他和妻子在一起散步的橋頭，已經有一個紀念碑。

四元數(shù)是由哈密爾頓在 1843年愛爾蘭發(fā)現(xiàn)的。愛爾蘭有一個很多人熟悉的英雄，威廉.華萊士。在電影《勇敢的心》中，有一柄長劍，叮地插在大地之上，長劍在風中微顫，你仿佛聽見愛爾蘭的英雄在高呼：自由！在通往數(shù)學的自由或者奴役的道路之上，哈密頓的四元數(shù)是一個豐碑。從物理學上講，它就是泡利矩陣，有了泡利矩陣，就有了2分量旋量。所以天才總是相互感應，而有了泡利矩陣，才有了扭量，這亦是自然的事情。 

兩個四元數(shù)相等的準則是系數(shù)a、b、c、d都對應相等。

兩個四元數(shù)相加只要將對應系數(shù)分別相加形成新的系數(shù)，這樣和本身也是一個四元數(shù)。為了定義乘法，哈密爾頓不得不規(guī)定i與j，i與k及j與k的乘積。為了保證乘積是一四元數(shù)，并且盡可能多地保留實數(shù)和復數(shù)的特點，他約定：jk=i，kj=－i，ki=j，ik=－j，ij=k，ji=－k，這些約定意味著乘法是不可能交換的。這樣若p和q為四元數(shù)，則pq不等于qp。一個四元數(shù)被另一個四元數(shù)除也是可以做的，然而，乘法的不可交換性蘊含了用四元數(shù)q去除四元數(shù)p時，可以意味著找到r，使得p=qr或p=rq，商r在兩種情形下可能不等。盡管四元數(shù)并沒有像哈密爾頓希望的那樣有廣泛的使用價值，他還是能用它們來解決大量的物理和幾何問題。

四元數(shù)的引入給了數(shù)學家們又一次震動。它是一個確確實實有實際用途的代數(shù)，卻不具備所有實數(shù)和復數(shù)都具備的基本性質，即 ab=ba。

哈密爾頓發(fā)明四元數(shù)后不久，從事其他領域研究的數(shù)學家們引入了更奇怪的代數(shù)。著名代數(shù)幾何學家凱萊引進了矩陣，它是矩形或正方形數(shù)組。對它們也可進行通常的代數(shù)運算。但是如同在四元數(shù)中的情形一樣，它也沒有乘法可交換性。而且即使兩個矩陣都不為0，它們的積也可能為0。四元數(shù)和矩陣只不過是許多性質越來越奇怪的代數(shù)的先驅。格拉斯曼發(fā)明了許多這樣的代數(shù)。它們甚至比哈密爾頓的四元數(shù)還要一般化。不幸，格拉斯曼只是個中學教師，因此過了許多年他的工作才獲得了應有的注意。無論怎樣，格拉斯曼工作增添了現(xiàn)在稱為超復數(shù)的新代數(shù)中的多樣性。

為了特別的目的而創(chuàng)建的這些新代數(shù)本身并沒有向普通的算術及其擴展在代數(shù)和分析中的真理提出挑戰(zhàn)。畢竟，一般的實數(shù)和復數(shù)可用于完全不同的目的，它們的實用性是無可質疑的。也許真理本質上就是難以捉摸的，或者如羅馬哲學家塞涅卡所說：“自然界不會一下子披露她所有的秘密。”

如果幾個力作用于一個物體，則這些力及其向量表示不一定通常也不會總在同一平面上。如果為了方便起見將通常實數(shù)稱為一維數(shù)，復數(shù)為二維數(shù)，那么，要用什么來表示空間中某種三維數(shù)的向量及其代數(shù)運算呢？人們希望對這種三維數(shù)進行的運算，類似于復數(shù)的情況，將必須包括加、減、乘、除，而且必須滿足通常實數(shù)和復數(shù)所具有的那些性質。這樣代數(shù)運算才能自由且有效地使用。于是，數(shù)學家們開始尋找一種稱為三維復數(shù)及其代數(shù)的數(shù)。

有許多數(shù)學家從事了這一問題的研究。1843年，哈密爾頓提出了一個有用的復數(shù)的空間類似物，哈密爾頓為此困惑了15年。那時數(shù)學家們所知道的所有的數(shù)都具有乘法的交換性，即ab=ba，因此哈密爾頓很自然地相信他所找的三維數(shù)或三元數(shù)，也應該具有這一性質以及其他實數(shù)和復數(shù)具有的性質。哈密爾頓終于成功了，不過他被迫作出兩點讓步。首先，他的新數(shù)包含四個分量，其次，他不得不犧牲了乘法交換律。這兩個特點對代數(shù)學來說都是革命性的，他把這種新的數(shù)叫做四元數(shù)。

a+bi+cj+dk    i2=j2=k2=－1  兩個四元數(shù)相等的準則是系數(shù)a、b、c、d都對應相等。

當時他正研究擴展復數(shù)到更高的維次（復數(shù)可視為平面上的點）。他不能做到三維空間的例子，但四維則造出四元數(shù)。根據(jù)哈密爾頓記述，他是于10月16日跟他的妻子在都柏林的皇家運河散步,突然靈感撲面而來,他在橋上寫下乘法表: i2＝j2＝k2＝-1，i·j＝k，k·i＝j，j·k＝i；j·i＝-k；i·k＝-j，k·j＝-i。

這是一個普通的橋,它以前的名字叫布魯穆橋（現(xiàn)稱為金雀花橋 Broom Bridge）。 
哈密頓創(chuàng)造了把四元數(shù)描繪成一個有序的四重實數(shù)：一個標量（a）和向量（bi + cj + dk）的組合。

根據(jù)上述乘法表，四元數(shù)顯然是復數(shù)的擴充，它將復數(shù)作為特殊形式包含在自身之中，它屬于超復數(shù)。但這種數(shù)對乘法的交換律不再成立，哈密頓為此考慮了十幾年，最后直覺地想到：必須犧牲交換律，于是第一個非交換律的代數(shù)誕生了，在以前的乘法中，乘法是交換的，比如從小學數(shù)學開始,沒有人告訴你為什么1x2=2x1，但這背后其實埋藏無窮秘密。

哈密頓的這個創(chuàng)造，把代數(shù)學從傳統(tǒng)的實數(shù)算術的束縛中解放出來，人們開始認識到數(shù)學既可來自現(xiàn)實世界的直接抽象也可以來自人類的思維的自由創(chuàng)造，這種思想引起了代數(shù)學領域的一次質的飛躍，現(xiàn)代抽象代數(shù)的閘門被打開了。只有在4維歐空間之上，唐納森發(fā)現(xiàn)了無窮多微分結構。loop量子引力被人詬病，因為她不能回答為什么時空是4維的，但上帝用數(shù)學來回答。

在19世紀到20世紀，哈密頓之后，物理學家洛侖次寫了厚厚的《電子論》，Lorentz的《The Theory of Electrons》總共三百多頁，當時還沒有發(fā)現(xiàn)電子。這是歷史上一個偉大的事情，雖然洛侖次不是最出色的，但人們應該注意到，在洛侖次力公式 f=qE+vX B 出現(xiàn)了點乘與叉乘。

這個是一個經典電動力學里的假設,但可以相信，這個假設說明，在四元數(shù)中,結合方法必須既有點乘又有叉乘，這個假設是實驗證實的，所以洛侖次是偉大的。

電磁理論與四元數(shù)的結合是自然的，天然的，同時是微妙的。因為電磁場在四維時空才是天然的。