1859年，黎曼發(fā)表了《在給定大小之下的素數(shù)個數(shù)》的論文。這是一篇不到十頁的內(nèi)容極其深到的論文，他將素數(shù)的分布的問題歸結(jié)為函數(shù)的問題，現(xiàn)在稱為黎曼函數(shù)。黎曼證明了函數(shù)的一些重要性質(zhì)，并簡要地斷言了其它的性質(zhì)而未予證明。

在黎曼死后的一百多年中，世界上許多最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家盡了最大的努力想證明他的這些斷言，并在作出這些努力的過程中為分析創(chuàng)立了新的內(nèi)容豐富的新分支。如今，除了他的一個斷言外，其余都按黎曼所期望的那樣得到了解決。

現(xiàn)在來說黎曼猜想，在1858年黎曼寫的一篇長度只有8頁的關(guān)于素數(shù)分布的論文，在這篇論文中，他提出了有名的黎曼猜想。這猜想提出已有一百多年了，許多有名的數(shù)學(xué)家曾嘗試去證明，就像喜歡爬山的人希望能爬上珠穆朗瑪峰一樣——因為它的頂峰非常困難到達，目前已有人登上這世界高峰，可是卻沒有人能證明這猜想！

要想說明黎曼猜想，首先要講講這個問題的來源。幾千年前人類就已知道2，3，5，7，31，59，97這些正整數(shù)。除了1及本身之外就沒有其他因子，他們稱這些數(shù)為素數(shù)（或質(zhì)數(shù)），希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得證明了在正整數(shù)集合里有無窮多的素數(shù)，他是用反證法證明，可以參看《數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家的故事》第一集里這個證明。著名的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，在1737年給了歐幾里得定理的另外一個巧妙的證明。

人們早知道下面的調(diào)和級數(shù)是不收斂（即和是無窮大）。

在1737年左右歐拉引進了齊打函數(shù)（Zeta function）

如果令P表示所有的素數(shù)集合，即歐拉發(fā)現(xiàn)對于S≥1，我們有上式的右邊表示

讓p跑遍所有的素數(shù)集合，取我們看到

 右邊如果展開，每一項是形如  的形狀，這里p1，p2，…，pr都是素數(shù)。由算術(shù)

的基本原理，我們知道，任何正整數(shù)是能表示成素數(shù)方的乘積，而這表示法是只有一種。如果素數(shù)的個數(shù)是有限，則當(dāng)s逐漸趨近于1時，我們見到 而右邊的結(jié)果卻是有限，這樣就
產(chǎn)生了矛盾。由此可知素數(shù)的個數(shù)不可能是有限的。

在1858年黎曼在他寫的唯一一篇關(guān)于數(shù)論的文章里把齊打函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)域上，他要研究什么樣的復(fù)數(shù)s，能使ζ（s）=0，他在文章里給出了下面猜想，現(xiàn)稱為“黎曼猜想”

“所有的非實數(shù)的復(fù)數(shù)s使得ζ（s）=0，，必定在直線Re(s)=1/2 上�！�
     

這個未解決的問題是希爾伯特23個問題中的第8個問題，至今仍沒有人證明。對于某些其它的域 ，布爾巴基學(xué)派的成員已證明相應(yīng)的黎曼猜想。數(shù)論中很多問題的解決有賴于這個猜想的解決。黎曼的這一工作既是對解析數(shù)論理論的貢獻，也極大地豐富了復(fù)變函數(shù)論的內(nèi)容。

德國數(shù)學(xué)家F.克萊因這樣的評價他：“黎曼具有很強的直觀，由這天份他超越了當(dāng)代的數(shù)學(xué)家，在他的興趣被激發(fā)的領(lǐng)域，他不管是否當(dāng)局會接受對這研究的肯定，也不讓傳統(tǒng)來誤導(dǎo)他�！�…他像流星一樣出現(xiàn)然后消失，他活躍的時間只不過15年，1851年他完成論文，1862年他生病，1866年他去世。……黎曼的思想，對現(xiàn)代函數(shù)論發(fā)展的影響是緩慢和逐漸的，他的工作不會在當(dāng)代引起突然的革命。這主要是由于黎曼的工作是不容易明白，另外是他提出的想法是非常新且奇特的�！�…”

黎曼的工作直接影響了19世紀(jì)后半期的數(shù)學(xué)發(fā)展，許多杰出的數(shù)學(xué)家重新論證黎曼斷言過的定理，在黎曼思想的影響下數(shù)學(xué)許多分支取得了輝煌成就。

近年對黎曼假設(shè)的研究

荷蘭三位數(shù)學(xué)家J．van de Lune，H．J．Riele te及D．T．Winter利用電子計算機來檢驗黎曼的假設(shè)，他們對最初的二億個齊打函數(shù)的零點檢驗，證明黎曼的假設(shè)是對的，他們在1981年宣布他們的結(jié)果，目前他們還繼續(xù)用電子計算機檢驗底下的一些零點。在1982年11月蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬帝葉雪維奇在蘇聯(lián)雜志《Kibernetika》宣布，他利用電腦檢驗一個與黎曼猜想有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，可以證明該問題是正確的，從而反過來可以支持黎曼的猜想很可能是正確的。