在現(xiàn)代世界，幾乎所有的中小學(xué)都把數(shù)學(xué)課作為必修課，幾乎所有的著名大學(xué)都以辦成研究型大學(xué)為榮。而在當(dāng)代純數(shù)學(xué)領(lǐng)域，大多數(shù)理論著作和教科書都是按照公理體系編撰的。當(dāng)大家對這一切習(xí)以為常的時候,你有沒有想過：是誰首先提出數(shù)學(xué)應(yīng)規(guī)定為必修課？是那位大學(xué)校長最先嘗試建設(shè)研究型大學(xué)？又是誰最早提出公理演繹法的初始構(gòu)想？這三個問題的答案竟是同一個人,那就是生活在2350年前的一位哲人——柏拉圖。

作為哲學(xué)家，柏拉圖無疑是人類思想史上的一位巨人。然而，他的哲學(xué)思想無論在古代還是現(xiàn)代都曾引起巨大的爭議，直到今天爭議仍在繼續(xù)。但是在教育界,對于他在數(shù)學(xué)教育上的貢獻(xiàn)自古至今絕少爭議�？梢哉f,他是當(dāng)之無愧的最偉大的數(shù)學(xué)教育家。

下面主要圍繞上述三個問題，粗淺地談?wù)劙乩瓐D的貢獻(xiàn)。

一、力挺數(shù)學(xué)，主張以法律規(guī)定數(shù)學(xué)為必修課

柏拉圖在其中期代表作《理想國》一書中力挺數(shù)學(xué),反復(fù)強調(diào)數(shù)學(xué)的重要性，并主張在理想的國家里,應(yīng)當(dāng)以法律形式規(guī)定全體居民必須學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。柏拉圖著作的表現(xiàn)形式通常為蘇格拉底和他的朋友或?qū)W生間的“對話”。經(jīng)后世學(xué)者的研究 ，柏拉圖的早期著作所表現(xiàn)的基本是蘇格拉底的觀點，而他的中、晚期著作所表現(xiàn)的則主要是柏拉圖本人的觀點。特別是《理想國》一書中關(guān)于數(shù)學(xué)教育的觀點完全是柏拉圖本人的觀點(蘇格拉底并不重視數(shù)學(xué))。柏拉圖首先強調(diào)數(shù)學(xué)能提升智能 ，增進(jìn)才能。他借蘇格拉底之口說：“那些天性擅長算術(shù)的人，往往也敏于學(xué)習(xí)其他一切學(xué)科；而那些反映遲緩的人，如果受了算術(shù)的訓(xùn)練，他們的反映也會有所改善，變得快些的，即使不談別的方面的受益�！�

接著說：“算術(shù)這門學(xué)問看來有資格被用法律規(guī)定下來。”接著談到幾何的功用，他舉例說,在行軍打仗中，“指揮官有沒有學(xué)過幾何學(xué)是大不一樣的�！庇终f：“它對學(xué)習(xí)一切其他功課還有一定的好處,學(xué)過幾何的人和沒有學(xué)過幾何的人在學(xué)習(xí)別的學(xué)科時是大不相同的�！彼�于是說：“應(yīng)該嚴(yán)格規(guī)定貴城邦的全體居民務(wù)必學(xué)習(xí)幾何。”接著又說：“讓我們定下來吧：幾何學(xué)作為青年必學(xué)的第二門功課。”雖然畢達(dá)哥拉斯學(xué)派早就強調(diào)數(shù)學(xué)的重要性,但是只主張學(xué)派的高級成員精研數(shù)學(xué) ，并未要求普及數(shù)學(xué)。至于在希臘之外的其他地區(qū)，當(dāng)時的數(shù)學(xué)水平尚處于萌芽狀態(tài)。因此,柏拉圖無疑是歷史上主張把數(shù)學(xué)定為必修課的第一人。

二、身體力行，把學(xué)園辦成以數(shù)學(xué)為主課的研究型大學(xué)

柏拉圖學(xué)園自公元前387年創(chuàng)辦后,就成為人才薈萃之地。它在好多方面有些像現(xiàn)代的私立大學(xué)，其辦學(xué)宗旨是培養(yǎng)具有哲學(xué)頭腦的優(yōu)秀政治人才，直至造就一位“哲學(xué)王”。由于柏拉圖認(rèn)為研究哲學(xué)之前必須首先學(xué)好數(shù)學(xué) ，因此確立了以數(shù)學(xué)為主課的方針。在《理想國》第7卷中系統(tǒng)論述了他的教育方針。他主張對20歲到30歲的學(xué)生進(jìn)行長達(dá)10年的、以數(shù)學(xué)為中心的數(shù)學(xué)教育。課程包括算術(shù)、平面幾何、立體幾何、天文學(xué)和諧音學(xué)。按照畢達(dá)哥拉斯的傳統(tǒng)說法 ，天文學(xué)是研究運動的數(shù)，諧音學(xué)是研究數(shù)的協(xié)調(diào),因此將這兩門課也歸入數(shù)學(xué)。待30歲后，挑選優(yōu)秀分子研習(xí)5年哲學(xué)，35歲后方可出任公職。由于《理想國》中的理想帶有烏托邦的色彩 ，所以，學(xué)園中的實際運作究竟在多大程度上貫徹了上述方針，這也難說，但以數(shù)學(xué)為主課，這一點無疑得到堅持。據(jù)說在學(xué)園大門口刻寫著“不懂幾何者不得入內(nèi)”的銘文 ，這也從另一個側(cè)面說明學(xué)園對數(shù)學(xué)的重視程度。

柏拉圖熱心于教學(xué)方法的改進(jìn)。他說,不應(yīng)只向人們簡單地灌輸一堆知識，而應(yīng)當(dāng)讓他們學(xué)會透過表面現(xiàn)象看到事物的深處�？吹接篮愕膶嵲�。為了啟迪思維,他善于通過問答式對話 ，引導(dǎo)學(xué)生的思路向深處發(fā)展。他還鼓勵學(xué)生提出一些問題讓大家進(jìn)行討論，倡導(dǎo)教師和學(xué)生開展創(chuàng)造性研究，把探索未知領(lǐng)域作為一項重要任務(wù)。

例如，他談到立體幾何“沒有得到發(fā)展的原因有二：第一，沒有一個城邦重視它，再加上它本身難度大，因此人們不愿意研究它；第二，研習(xí)者須有人指導(dǎo) ，否則不能成功”�？梢娏Ⅲw幾何這門課正是柏拉圖指導(dǎo)師生努力研究的一門學(xué)科。天文學(xué)和諧音學(xué)也是這樣。由此可以推知，學(xué)園的教學(xué)方式不同于現(xiàn)代一般大學(xué)的教學(xué)方式。特別是學(xué)生的學(xué)習(xí) ，它更注重學(xué)生在導(dǎo)師指導(dǎo)下的獨立研究。這種傳統(tǒng)得以延續(xù),以致在西方語言中，“學(xué)習(xí)”一詞（如拉丁語studeo,英語study）就兼有“研究”的涵義。

關(guān)于學(xué)園的工作方式，還有一種意見認(rèn)為學(xué)園里面進(jìn)行的主要是研究，所以學(xué)園其實是一所科學(xué)研究院。例如，H•尤斯納（Usener）曾于1884年斷言學(xué)園是已知的第一個科學(xué)研究機關(guān)。另外 ，從名稱來看，學(xué)園的原名是阿卡德米亞（音譯），來源于學(xué)校所在地——一處紀(jì)念戰(zhàn)斗英雄阿卡德穆的花園。該詞的拉丁文Academia,英文Academy，其現(xiàn)代詞義均為“科學(xué)院”。這從一個側(cè)面表明 ，柏拉圖學(xué)園究竟是學(xué)院（大學(xué)），還是科學(xué)院，歷來是有爭議的。中文的傳統(tǒng)譯名“學(xué)園”，雖未盡善，但是回避了上述爭議。

綜上所述，可以認(rèn)定學(xué)園是一所非同尋常的大學(xué)，它是世界上第一所研究型大學(xué)。它存在了900多年，對西方文明作出了極大的貢獻(xiàn)。一些西方學(xué)者對柏拉圖學(xué)園贊頌有加 ，認(rèn)為它對世界學(xué)術(shù)發(fā)展的影響要比現(xiàn)今牛津大學(xué)、劍橋大學(xué)、哈佛大學(xué)和耶魯大學(xué)加在一起還大。

三、匠心獨運,提出公理演繹法的初始構(gòu)想

我們在柏拉圖的著作中，可以看到數(shù)學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域的最初的探索。他的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想是和他的“理念論”分不開的。柏拉圖把一類事物的共性同可以感知的具體事物分離開來,使之成為獨立的存在 ，稱之為理念。他認(rèn)為理念高于相應(yīng)的可感知的具體事物，而具體事物只是理念的不完善的摹本。因而只有理念才是認(rèn)識的起點，才能成為數(shù)學(xué)研究的對象。

他曾以圓為例進(jìn)行分析說：“有四種圓：

1．被世人稱為圓的某種東西；

2．圓的定義：在任何方向上的邊界點到中心的距離都是相等的；

3．畫出的一個圓，即旋轉(zhuǎn)圓規(guī)所得的圓；

4． 實質(zhì)性的圓，即圓的理念�！�

柏拉圖接著評論道：名稱是無關(guān)緊要的，只是由習(xí)慣形成的。我們甚至可稱圓為直線，并反過來稱直線為圓。定義其實也不具有真正的確定性，它是由名詞、動詞等詞語組成的。圓的圖形是畫出來或旋轉(zhuǎn)出來的具體的圓。這里難免摻雜著其他的東西 ，它甚至充滿著和圓的本質(zhì)相抵觸的成分。例如，數(shù)學(xué)圓和數(shù)學(xué)直線僅能相切于一個公共點,但這在畫圓時是無法做到的。因此，它們都不是完善的圓，即不是圓的理念，但和圓的理念密切相關(guān)。由此可見，柏拉圖所說圓的理念，其實就是圓的概念。他所說數(shù)學(xué)理念，其實就是數(shù)學(xué)概念。

盡管柏拉圖的“理念論”帶有唯心主義色彩，但他對數(shù)學(xué)概念的論述是深刻的，和我們今天所說的是大體一致的。數(shù)學(xué)名詞、定義和相應(yīng)的圖形都是用以描摹數(shù)學(xué)概念的 ，但都和數(shù)學(xué)概念本身有所區(qū)別。顯然,定義要比名詞和圖形更能刻畫數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征，因而柏拉圖注意對定義的推敲。由于柏拉圖強調(diào)概念的獨立性和抽象性 ，并將概念和判斷明確地區(qū)別開來，從而為用概念和命題的系統(tǒng)表現(xiàn)數(shù)學(xué)理論奠定了基礎(chǔ)。

雖然我們無法肯定柏拉圖是否對數(shù)學(xué)的演繹結(jié)構(gòu)提出過具體模式，但是把演繹法作為一種具體的推理方法，確是由他明確提出的。柏拉圖在《理想國》第6卷中說“想必你知道 ，研究幾何、算術(shù)以及這一類學(xué)問的人，首先要假定奇數(shù)、偶數(shù)、三種類型的角以及各學(xué)科中諸如此類的東西是已知的，這就是他們的假設(shè)。他們設(shè)想這些東西是任何人都知道的 ，因而認(rèn)為無必要就此向他們自己或別人作任何說明。他們就從這些假設(shè)出發(fā)，并以前后一致的方式向下推，直至最后得出他們的結(jié)論�！边@段話說明，柏拉圖首先提出了要從一些自明的假設(shè)出發(fā)進(jìn)行證明的觀點。而這個觀點正是公理演繹法的初始構(gòu)想。說它是初始的 ，那是因為它是不完善的。在上述引語里，公理（假設(shè)）究竟是概念還是命題并不清楚，“以前后一致的方式向下推”也不能確認(rèn)為明確的推理要求。雖然它是不完善的 ，但卻是一個偉大的開端。柏拉圖喚起了古希臘人尤其是數(shù)學(xué)家的一種強烈信念：一個完備的科學(xué)的理論結(jié)構(gòu)，應(yīng)該是一個演繹陳述系統(tǒng)。繼承并完成這項工作的是柏拉圖的學(xué)生亞里士多德。他創(chuàng)立了形式邏輯和完善的公理方法。后來數(shù)學(xué)家歐幾里得在其名作《幾何原本》里建立了第一個數(shù)學(xué)公理演繹體系。

在柏拉圖指導(dǎo)下，學(xué)園的數(shù)學(xué)教育取得了極大的成功。在公元前4世紀(jì)的希臘，絕大多數(shù)知名數(shù)學(xué)家都是柏拉圖的學(xué)生或朋友。他們之間經(jīng)常進(jìn)行討論或交流 ，而學(xué)園則成為開展數(shù)學(xué)交流活動的中心場所。他們以柏拉圖為核心形成一個學(xué)派，史稱柏拉圖學(xué)派。其中最杰出的數(shù)學(xué)家有歐多克索斯、泰特托斯和門奈赫莫斯等人。后來的歐幾里得（公元前300左右）早年也曾在學(xué)園攻讀數(shù)學(xué)。他的《幾何原本》中的大部分內(nèi)容都是來源于柏拉圖學(xué)派數(shù)學(xué)家的研究成果。美國數(shù)學(xué)史家波耶（Boyer，1906--1976）評論說：“雖然柏拉圖本人在數(shù)學(xué)研究方面沒有特別杰出的學(xué)術(shù)成果,然而 ，他卻是那個時代的數(shù)學(xué)活動的核心，……他對數(shù)學(xué)的滿腔熱忱沒有使他成為數(shù)學(xué)家，但卻贏得了‘?dāng)?shù)學(xué)家的造就者’（the maker of mathematicians）的美譽。”