在數(shù)學(xué)史上，相傳這個公式是意大利數(shù)學(xué)家塔塔里亞首先得，后來被米蘭地區(qū)的數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾（1501～1576）騙到了這個三次方程的解的公式，并發(fā)表在自己的著作里。所以現(xiàn)在人們還是叫這個公式為卡爾達(dá)諾公式(或稱卡當(dāng)公式)，其實(shí)，它應(yīng)該叫塔塔里亞公式。  三次方程被解出來后，一般的四次方程很快就被意大利的費(fèi)拉里(1522～1560)解出。這就很自然的促使數(shù)學(xué)家們繼續(xù)努力尋求五次及五次以上的高次方程的解法。遺憾的是這個問題雖然耗費(fèi)了許多數(shù)學(xué)家的時間和精力，但一直持續(xù)了長達(dá)三個多世紀(jì)，都沒有解決。法國數(shù)學(xué)家拉格朗日更是稱這一問題是在“向人類的智慧挑戰(zhàn)”。

1770年，拉格朗日精心分析了二次、三次、四次方程根式解的結(jié)構(gòu)之后，提出了方程的預(yù)解式概念，還進(jìn)一步看出預(yù)解式和方程的各個根在排列置換下的形式不變性有關(guān)，這時他認(rèn)識到求解一般五次方程的代數(shù)方法可能不存在。此后，挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾利用置換群的理論，給出了高于四次的一般代數(shù)方程不存在代數(shù)解的證明。  伽羅瓦通過改進(jìn)數(shù)學(xué)大師拉格朗日的思想，即設(shè)法繞過拉氏預(yù)解式，但又從拉格朗日那里繼承了問題轉(zhuǎn)化的思想，即把預(yù)解式的構(gòu)成同置換群聯(lián)系起來的思想，并在阿貝爾研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步發(fā)展了他的思想，把全部問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為置換群及其子群結(jié)構(gòu)的分析。

這個理論的大意是：每個方程對應(yīng)于一個域，即含有方程全部根的域，稱為這方程的伽羅華域，這個域?qū)��?yīng)一個群，即這個方程根的置換群，稱為這方程的伽羅華群。伽羅華域的子域和伽羅華群的子群有一一對應(yīng)關(guān)系；當(dāng)且僅當(dāng)一個方程的伽羅華群是可解群時，這方程是根式可解的。

1829年，伽羅華在他中學(xué)最后一年快要結(jié)束時，把關(guān)于群論初步研究結(jié)果的論文提交給法國科學(xué)院，科學(xué)院委托當(dāng)時法國最杰出的數(shù)學(xué)家柯西作為這些論文的鑒定人。在1830年1月18日柯西曾計劃對伽羅華的研究成果在科學(xué)院舉行一次全面的意見聽取會。他在一封信中寫道：“今天我應(yīng)當(dāng)向科學(xué)院提交一份關(guān)于年輕的伽羅華的工作報告……但因病在家，我很遺憾未能出席今天的會議，希望你安排我參加下次會議，討論已指明的議題”。然而，第二周當(dāng)柯西向科學(xué)院宣讀他自己的一篇論文時，并未介紹伽羅華的著作，這是一個非常微妙的“事故”。

1830年2月，伽羅華將他的研究成果比較詳細(xì)地寫成論文交上去了，以參加科學(xué)院的數(shù)學(xué)大獎評選，希望能夠獲獎。論文寄給當(dāng)時科學(xué)院終身秘書傅立葉，但傅立葉在當(dāng)年5月去世了，在他的遺物中未能發(fā)現(xiàn)伽羅華的手稿。就這樣，伽羅華遞交的兩次數(shù)學(xué)論文都被遺失了。

1831年1月，伽羅華在尋求確定方程的可解性這個問題上，又得到一個結(jié)論，他寫成論文提交給法國科學(xué)院。這篇論文是伽羅華關(guān)于群論的重要著作，當(dāng)時負(fù)責(zé)審查的數(shù)學(xué)家泊阿松為理解這篇論文絞盡腦汁。傳說泊阿松將這篇論文看了四個月，最后結(jié)論居然是“完全不能理解”。盡管借助于拉格朗日已證明的一個結(jié)果可以表明伽羅華所要證明的論斷是正確的，但最后他還是建議科學(xué)院否定它。 對事業(yè)必勝的信念激勵著年輕的伽羅華。雖然他的論文一再被丟失，得不到應(yīng)有的支持，但他并沒有灰心，他堅持他的科研成果，一次又一次地想辦法傳播出去。

伽羅華死后，按照他的遺愿，舍瓦利葉把他的信發(fā)表在《百科評論》中。他的論文手稿過了十四年后，也就是1846年，才由法國數(shù)學(xué)家劉維爾領(lǐng)悟到這些演算中迸發(fā)出的天才思想，他花了幾個月的時間試圖解釋它的意義。劉維爾最后將這些論文編輯發(fā)表在他的極有影響的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》上，并向數(shù)學(xué)界推薦。1870年法國數(shù)學(xué)家約當(dāng)根據(jù)伽羅華的思想，寫了《論置換與代數(shù)方程》一書，在這本書里伽羅華的思想得到了進(jìn)一步的闡述。

 伽羅華最主要的成就是提出了群的概念，并用群論徹底解決了根式求解代數(shù)方程的問題，而且由此發(fā)展了一整套關(guān)于群和域的理論，為了紀(jì)念他，人們稱之為伽羅華理論。正是這套理論創(chuàng)立了抽象代數(shù)學(xué)，把代數(shù)學(xué)的研究推向了一個新的里程。正是這套理論為數(shù)學(xué)研究工作提供了新的數(shù)學(xué)工具—群論。它對數(shù)學(xué)分析、幾何學(xué)的發(fā)展有很大影響，并標(biāo)志著數(shù)學(xué)發(fā)展現(xiàn)代階段的開始。 

伽羅瓦非常徹底地把全部代數(shù)方程可解性問題，轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為置換群及其子群結(jié)構(gòu)分析的問題。這是伽羅瓦工作中的第一個“突破”，他猶如劃破黑夜長空的一顆瞬間即逝的慧星，開創(chuàng)了置換群論的研究，確立了代數(shù)方程的可解性理論，即后來稱為的“伽羅瓦理論”，從而徹底解決了一般方程的根式解難題。 

作為這個理論的推論，可以得出五次以上一般代數(shù)方程根式不可解，以及用圓規(guī)、直尺(無刻度的尺)三等分任意角和作倍立方體不可能等結(jié)論。 對伽羅華來說，他所提出并為之堅持的理論是一場對權(quán)威、對時代的挑戰(zhàn)，他的“群”完全超越了當(dāng)時數(shù)學(xué)界能理解的觀念。也許正是由于年輕，他才敢于并能夠以嶄新的方式去思考，去描述他的數(shù)學(xué)世界。也正因如此，他才受到了冷遇。 

這個故事告訴我們，發(fā)現(xiàn)真理是多么的不容易，而要堅持真理需要多么大的勇氣。然而，歷史的曲折并不能埋沒真理的光輝。今天由伽羅華創(chuàng)立的群論，不僅對近代數(shù)學(xué)的各個方向，而且對物理學(xué)、化學(xué)的許多分支都產(chǎn)生了重大的影響。