1904年，外爾從這所中學(xué)畢業(yè)。當(dāng)時(shí)的校長是德國大數(shù)學(xué)家D.希爾伯特(Hilbert)的表兄弟，遂將外爾介紹到希爾伯特所在的格丁根大學(xué)攻讀數(shù)學(xué)。從此，外爾踏上了數(shù)學(xué)之路，并成為日后希爾伯特的繼承人。

　　在格丁根的第一年，外爾讀了許多課程。其中包括希爾伯特的課“化圓為方與數(shù)的理論”。新世界的門向他打開了。1905年夏天，外爾帶著希爾伯特的輝煌作品“數(shù)論報(bào)告”(Der Zahlbericht)回家去。他回憶說：“整個(gè)暑假我在沒有初等數(shù)論和E．伽羅瓦(Galois)理論這些準(zhǔn)備知識的情況下，自己盡力搞懂它。這幾個(gè)月是我一生中最快樂的幾個(gè)月，經(jīng)歷了我們共同分擔(dān)的疑慮和失敗的許多歲月之后，它的光輝仍撫慰著我的心靈�！蓖鉅栐�這樣描述希爾伯特對青年人的影響：“他所吹奏的甜蜜的蘆笛聲，誘惑了許多老鼠追隨他跳入數(shù)學(xué)的深河”。外爾自己就是這些“老鼠”中的一個(gè)。

　　在格丁根讀了一年書之后，外爾按慣例要到另一所大學(xué)求學(xué)一年。他到了慕尼黑大學(xué)。1906年重返格丁根。1907年，外爾投入積分方程的研究。一年之后，以“奇異積分方程”(Equtionsintégrales singwlières)的論文獲得博士學(xué)位。他在格丁根一直呆到1913年。1910年起任無薪講師(privatdozent)，在講授函數(shù)論等課程的同時(shí)，他開拓了新領(lǐng)域“黎曼面”。

　　1913年，外爾和J．海倫(Joseph Helen)結(jié)婚。海倫是格丁根大學(xué)哲學(xué)系的著名才女。他們有兩個(gè)兒子。其中J．外爾也是數(shù)學(xué)家。父子曾合著《亞純函數(shù)和解析曲線》(1943)。就在結(jié)婚的同一年，外爾受聘為位于蘇黎世城的瑞士聯(lián)邦工學(xué)院的教授。這時(shí)，大物理學(xué)家A．愛因斯坦(Einstein)也在那里執(zhí)教，他們經(jīng)常交談。愛因斯坦的物理學(xué)新思想給外爾留下了深刻的印象。

　　1915年，正值第一次世界大戰(zhàn)，外爾服了一年兵役。1916年重返蘇黎世。此后的十余年，是外爾數(shù)學(xué)創(chuàng)造的全盛時(shí)期。外爾在蘇黎世的生活是幸福的；他曾說，那時(shí)打擾他平靜生活的最糟糕的事是外國大學(xué)請他去執(zhí)教的一連串邀請。但是在內(nèi)心深處，外爾仍然向往格丁根大學(xué)，希望回到希爾伯特身邊。因?yàn)樗�的“根”在那里，他要到那里攝取營養(yǎng)，獲得新的動力。

1923年，格丁根大學(xué)邀他回去接替退休的F．克萊因(klein)。當(dāng)時(shí)德國政治形勢動蕩，經(jīng)濟(jì)一團(tuán)糟。外爾躊躇再三，拿著“接受邀請”的電文到電報(bào)局，可到了拍發(fā)時(shí)，又改變了主意，辭謝了邀請。1930年夏天，格丁根大學(xué)又邀他回去接替希爾伯特。盡管這時(shí)德國政治、經(jīng)濟(jì)形勢仍然不好，但外爾終于接受了邀請。他寫信給老師：“應(yīng)召作為你的繼任，我內(nèi)心的欣喜和自豪是無法用言詞來形容的”。

　　但是外爾在格丁根沒有呆很長時(shí)間。30年代的德國，法西斯的濁流在到處蠢動，排猶的風(fēng)潮越演越烈。外爾本人雖不是猶太人，可是他的妻子海倫是半個(gè)猶太人。1933年1月，希特勒上臺，局勢極度動蕩，大批猶太科學(xué)家離開德國。作為格丁根大學(xué)數(shù)學(xué)研究所的領(lǐng)導(dǎo)人，整個(gè)春天和夏天，外爾寫信，去會見政府官員，但什么也改變不了。夏日將盡，人亦如云散。外爾去瑞士度假，仍想回德國，希望通過自己的努力來保住格丁根的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)。可是美國的朋友極力勸他趕快離開德國：“再不走就太晚了！”美國普林斯頓高級研究院為他提供了一個(gè)職位。早在那里的愛因斯坦說服了外爾。從此，他和海倫在大西洋彼岸渡過了后半生。

到普林斯頓時(shí)，外爾已經(jīng)48歲，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造黃金時(shí)期已經(jīng)過去。于是他從“首席小提琴手”轉(zhuǎn)到“指揮”的位置上。他象磁石一樣吸引大批數(shù)學(xué)家來到普林斯頓，用他淵博的知識、深邃的才智給年輕人指引前進(jìn)的方向。普林斯頓取代格丁根成為世界數(shù)學(xué)中心，外爾的作用顯然是舉足輕重的。無數(shù)的年輕人懷念外爾對他們的幫助，用最美好的語言頌揚(yáng)他的為人，其中有一個(gè)是中國學(xué)者陳省身。

1985年，陳省身回憶他和外爾的交往時(shí)寫道：“我1943年秋由昆明去美國普林斯頓，初次會到外爾。他當(dāng)然知道我的名字和我的一些工作。我對他是十分崇拜的�！�…外爾很看重我的工作，他看了我關(guān)于高斯(Gauss)-博內(nèi)(Bonnet)公式的初稿，曾向我道喜。我們有很多的來往，有多次的長談，開拓了我對數(shù)學(xué)的看法。歷史上是否會再有象外爾這樣廣博精深的數(shù)學(xué)家，將是一個(gè)有趣的問題�！�

　　外爾在美國也繼續(xù)做一些研究工作。他寫的《典型群，其不變式及其表示》 (The classical group，their invariants and repre-sentations，1939)以及《代數(shù)數(shù)論》(Algebraic theory of numbers，1940)使希爾伯特的不變式理論和數(shù)論報(bào)告在美國生根開花。他的“半個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)”(A half-century of mathematics，1951)更成為20世紀(jì)上半葉數(shù)學(xué)的最好總結(jié)。他還在凸多面體的剛性和變形(1935)、n維旋量黎曼矩陣、平均運(yùn)動(1938—1939)、亞純曲線(1938)、邊界層問題(1942)等方面作出貢獻(xiàn)。

　　外爾的妻子于1948年逝世。1950年，他又和B．愛倫(Ellen)結(jié)婚。外爾在1951年退休，但他在普林斯頓的職位仍然保留著。以后他在普林斯頓和蘇黎世兩地居住。

1954年，外爾在第十二屆國際數(shù)學(xué)家大會上講話，介紹菲爾茲獎獲得者小平邦彥(小平邦彥，Kodaira Kunihiko)和J．P．塞爾的工作。第二年，70壽辰的祝壽活動之后不到一個(gè)月，外爾在郵局寄信時(shí)突然心臟病發(fā)作，于1955年12月8日與世長辭。

外爾的著作生前出版過選集。1968年，施普林格(Springer)出版社發(fā)行外爾的《論文全集》，(Gesammelte abhandlungen)，包括166篇文章，但不包括他的十幾本書。

外爾一生的科學(xué)工作，可以分為四個(gè)時(shí)期：格丁根時(shí)期(1904—1913)；蘇黎世時(shí)期(1913—1930)；第二格丁根時(shí)期(1930—1933)；普林斯頓時(shí)期(1933—1955)。他的數(shù)學(xué)工作幾乎遍及整個(gè)數(shù)學(xué)。其中包括奇異積分方程、微分方程、數(shù)學(xué)物理方法、希爾伯特空間、狄利克雷原理、模1分布、概周期函數(shù)、亞純曲線變分學(xué)等分析課題，凸體的表面的剛性、拓?fù)鋵W(xué)、微分幾何中的聯(lián)絡(luò)、黎曼面等幾何課題，李群的不變量、李群的表示、代數(shù)理論、邏輯等代數(shù)課題，以及相對論、量子論、哲學(xué)、科學(xué)史等課題。他的許多工作成為20世紀(jì)一系列重要數(shù)學(xué)成就的出發(fā)點(diǎn)。外爾的研究足跡緊緊追隨著整個(gè)科學(xué)的進(jìn)展，從廣義相對論到量子力學(xué)，一直在科學(xué)的前沿上弄潮。許多人認(rèn)為，時(shí)至今日，通曉整個(gè)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)家似乎已經(jīng)沒有了。外爾也許是能做到這一點(diǎn)的最后一人。

　　外爾在格丁根時(shí)期的初期研究工作，可以說完全在希爾伯特的影響下進(jìn)行。他在格丁根的博士論文題目正是希爾伯特當(dāng)時(shí)鐘愛的研究課題：積分方程。
　　1910年，外爾在為獲得無薪講師職位發(fā)表就職演講時(shí)，作出了他在數(shù)學(xué)上第一個(gè)重要工作：二階線性微分方程的奇異邊界條件。眾所周知，經(jīng)典的斯圖姆(Sturm)-劉維爾(Liouville)問題是求解自共軛微分方程。

外爾在追隨希爾伯特研究積分方程和微分方程之后，從1911到1912年開辟了自己的新研究方向：黎曼面。這時(shí)，外爾在格丁根大學(xué)講授函數(shù)論課程。復(fù)值多值函數(shù)依靠黎曼面的構(gòu)造一直依靠直觀想象，并用自然語言加以描述。外爾一面授課，一面構(gòu)思嚴(yán)格的黎曼面理論。年僅26歲的外爾爆出了天才的火花。他將黎曼面R看成被R中各點(diǎn)的鄰域U所覆蓋，而每一鄰域U又附以從U到復(fù)平面的映射ψu(yù)。外爾把所有由(U，ψu(yù))構(gòu)成的全體記作 。如果 滿足(1) 中所有U的并集即是R，(2)當(dāng)V=U1∩U2非空 上區(qū)域ψu(yù)2(V)到復(fù)平面區(qū)域ψu(yù)1(V)的復(fù)變函數(shù)。我們假 )看作黎曼面。

在20世紀(jì)數(shù)學(xué)史上，外爾的這一想法是劃時(shí)代的(上面的敘述已采用現(xiàn)在常用的形式)。首先，他采用了鄰域思想，無疑為點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的出現(xiàn)催生。其次，黎曼面用現(xiàn)在的眼光來看乃是復(fù)一維流形。在20世紀(jì)大放異采的復(fù)流形理論即導(dǎo)源于此。第三，外爾指出，黎曼面的深入研究，“不只是使解析函數(shù)的多值性直觀化的手段，而且是這個(gè)理論的本質(zhì)部分，是解析函數(shù)能在其上生長和繁榮的唯一土壤”。它開創(chuàng)了現(xiàn)代函數(shù)論。第四，黎曼面的虧格、分類等導(dǎo)向同調(diào)和同倫論，為代數(shù)拓?fù)涞恼Q生指引了方向。外爾這一工作，幾乎影響了20世紀(jì)的整個(gè)純粹數(shù)學(xué)。1913年《黎曼面的觀念》(Die Idee der Riema-nnschen Fl che)出版。從中人們可以看到希爾伯特的鄰域公理化方法，L。E。J。布勞韋爾(Brouwer)使用的單純形方法，H?龐加萊(Poincare)的基本群觀念以及曲面的指向等嚴(yán)格理論。
　　
　　1916年，當(dāng)外爾從兵營回到工學(xué)院講臺時(shí)，愛因斯坦的廣義相對論問世不久，一場物理學(xué)研究的浪潮席卷全球。外爾毫不猶豫地投身其中。1916到1917年，他在蘇黎世的聯(lián)邦工學(xué)院講授相對論課程時(shí)，力圖把哲學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法以及物理學(xué)理論結(jié)合起來，用自己的思想清晰而嚴(yán)格地闡述廣義相對論。講稿在1918年以《空間、時(shí)間、物質(zhì)》(Raum、Zeit、Malerie)的書名正式出版，五年之內(nèi)再版五次，成為年輕人的心愛之物。大物理學(xué)家W。K。海森伯(Heisenberg)等都從此書中得到教益。
　　1917—1919這幾年間，外爾在幾何學(xué)與物理學(xué)上作出了巨大貢獻(xiàn)。他受到愛因斯坦在廣義相對論中研究引力場的鼓舞，企圖提出一種既包括引力又包括電磁力的幾何理論，即通過發(fā)展幾何學(xué)來完成“統(tǒng)一場論”的構(gòu)想。雖然“統(tǒng)一場論”經(jīng)過努力(包括愛因斯坦本人的努力)至今仍未建立起來，但是外爾一系列的研究成果卻深刻地影響著當(dāng)代物理學(xué)的進(jìn)展。
　　外爾首先對作為相對論數(shù)學(xué)框架的黎曼幾何加以改造和擴(kuò)展。外爾的這一思想無疑是稍后的E。嘉當(dāng)(Cartan)的一般聯(lián)絡(luò)理論的源頭。聯(lián)絡(luò)概念已構(gòu)成現(xiàn)代微分幾何的基礎(chǔ)，其意義之重大正如分析學(xué)中的微分概念。
　　

1932年，希爾伯特70壽辰。外爾寫了生日祝辭，表達(dá)了他對恩師的崇敬與深情。

愛因斯坦對外爾的論文預(yù)印本十分關(guān)注，但后來明確表示反對這篇文章。結(jié)果愛因斯坦的意見作為按語加在外爾文章的后面，外爾又寫了一個(gè)回答附在末尾。愛因斯坦的異議是說，不可積標(biāo)度因子理論如果正確，那么從0出發(fā)的兩條路徑，由于標(biāo)度的連續(xù)變化，一般將會有不同大小，因而兩個(gè)鐘快慢將會不同，時(shí)鐘依賴于每個(gè)人的歷史，那就沒有客觀規(guī)律，也就沒有物理學(xué)了。外爾對此作了回答，但未能消除愛因斯坦的異議。1949年，外爾回憶當(dāng)時(shí)的心情說：“在蘇黎世的一只孤獨(dú)的狼——外爾，……很不幸，他太易把他的數(shù)學(xué)與物理的和哲學(xué)的推測混在一起了�！�

外爾的規(guī)范理論啟發(fā)了楊振寧：可以把規(guī)范理論從電磁學(xué)推廣出去。這就產(chǎn)生了楊振寧-米爾斯(Miles)在1954年提出的非交換規(guī)范場理論。這一規(guī)范場理論在粒子物理中顯示了強(qiáng)大的生命力，可惜那時(shí)外爾已退休，未曾注意及之。
　　外爾的數(shù)學(xué)研究總是和當(dāng)代的物理學(xué)最新成就聯(lián)系在一起。當(dāng)1925—1926年量子力學(xué)剛剛產(chǎn)生的時(shí)候，外爾深入地從事李群及其表示的研究，并在1927年把這項(xiàng)研究與量子力學(xué)結(jié)合起來。1928年，名著《群論和量子力學(xué)》(Gruppentheorie und Quanten-mechanik)出版。差不多每一位在1935年之前出生的理論物理學(xué)家，都會在自己的書架上放上這本書。不過，幾乎沒有人去讀它。對物理學(xué)家來說，這本書太抽象了。
　　1957年楊振寧和李政道發(fā)現(xiàn)了宇稱不守恒，并由吳健雄等用實(shí)驗(yàn)證實(shí)。外爾的二分量中微子理論也得到重新肯定。這時(shí)外爾去世已經(jīng)兩年，人們無法聽到這位理論物理先驅(qū)的評論了。讓我們再回到數(shù)學(xué)上來。外爾在本世紀(jì)20年代從事李群和李代數(shù)及其表示的研究，可說是外爾數(shù)學(xué)生涯中最光輝的篇章。

　　外爾逝世已經(jīng)40年了，但是整個(gè)國際數(shù)學(xué)界仍然時(shí)刻感到他的存在。他所創(chuàng)立的深刻數(shù)學(xué)思想至今還在起著指路燈的作用。他的工作一定會影響到下一個(gè)世紀(jì)。