羅素提出分支類型論 解決集合論悖論

伯特蘭·羅素（Russell，Bertrand ）1872年5月18日出生在英國的一個(gè)貴族家庭，他的祖父約翰·羅素（John Russell）伯爵是一個(gè)著名的自由黨政治家，在維多利亞時(shí)代曾兩度出任英國政府首相。羅素幼年時(shí)父母相繼去世，于是他和哥哥與祖父母生活在一起，他是在祖母的照料與培育下成長起來的。

羅素6歲時(shí)，祖父去世。祖母活到了1898年，她對羅素在童年和青少年時(shí)期的發(fā)展有過決定性的影響。祖母出身于一個(gè)貴族的虔誠教徒的家庭，具有非常強(qiáng)烈的道德信念和宗教信仰，在政治上較為激進(jìn)。祖母在他12歲生日時(shí)贈(zèng)送給他一本《圣經(jīng)》，書的扉頁上題寫著：“勿隨眾人作惡”，這句話成為羅素一生道德上的座右銘。

羅素少年時(shí)未被送到學(xué)校去學(xué)習(xí)，而只是在家里接受保姆和家庭教師的教育。他的童年和少年時(shí)代是孤獨(dú)的，因受他叔叔的影響，他從小就對科學(xué)產(chǎn)生了興趣。在哥哥的幫助下，他11歲時(shí)就掌握了歐幾里得幾何學(xué)，這是他智慧發(fā)展的重要轉(zhuǎn)折。羅素喜愛數(shù)學(xué)，少年時(shí)代便開始思考哲學(xué)問題，探求數(shù)學(xué)之完美與宗教之可疑的哲學(xué)根據(jù)，他還從藏書豐富的家庭圖書館中吸取了歷史、文學(xué)各方面的知識。

1890年10月，羅素18歲考入了劍橋大學(xué)三一學(xué)院，結(jié)識了很多良師益友。大學(xué)前三年，他在懷特海指導(dǎo)下 攻讀數(shù)學(xué)，獲數(shù)學(xué)榮譽(yù)學(xué)位考試的第七名。四年級時(shí)羅素的興趣轉(zhuǎn)向哲學(xué)，獲倫理科學(xué)（當(dāng)時(shí)的哲學(xué)）榮譽(yù) 考試第一名。在其導(dǎo)師麥克塔格的影響下，他一度成為新黑格爾主義者。大學(xué)畢業(yè)的第二年，羅素獲得了三 一學(xué)院研究員的職位，曾前往柏林考察。1895年羅素隨同英國哲學(xué)家摩爾反叛了新黑格爾主義，轉(zhuǎn)向新實(shí)在 論，提出了外在關(guān)系學(xué)說。1908年被選為皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。1910年，任劍橋大學(xué)講師，1914年又任該校 三一學(xué)院研究員。1949年成為英國皇家學(xué)會(huì)的榮譽(yù)研究員。其間，他多次去美國講學(xué)、訪問和演講。 20年代初，曾到中國講學(xué)一年。50年代后，主要是從事社會(huì)政治活動(dòng)。

羅素在劍橋大學(xué)學(xué)習(xí)期間，他結(jié)識了當(dāng)時(shí) 劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)講師懷特海、哲學(xué)家摩爾和E．麥克塔格特以及其他一些歷史學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家和詩人、散文家等。 在此期間，1897羅素撰寫了《論幾何學(xué)的基礎(chǔ)》一書。這本書的主題是用康德關(guān)于數(shù)學(xué)是先驗(yàn)綜合判斷的思想 來檢查幾何學(xué)的發(fā)展和現(xiàn)狀，他用稍加修改的康德的觀點(diǎn)來評價(jià)非歐幾何學(xué)的產(chǎn)生。1900年是羅素哲學(xué)思想演 變的一個(gè)重要的分界。這一年他受到意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾的啟發(fā)，開始用新的邏輯分析技術(shù)研究數(shù)學(xué)的基本概 念。1900至1910年間，他同懷特海合作撰寫了《數(shù)學(xué)原理》。該書被人們看作是數(shù)學(xué)和邏輯發(fā)展史上的里程碑， 正是這部巨著使羅素贏得了學(xué)術(shù)上的崇高地位和榮譽(yù)。羅素說，在這個(gè)時(shí)期，“就哲學(xué)的基本問題而言，在所 有的主要方面，我的立場都來自摩爾先生�！�…在數(shù)學(xué)上，我主要受惠于康托爾和皮亞諾教授�！睆�1900年至 1914年，羅素主要從事數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究，他在這個(gè)領(lǐng)域中最重要的工作都是在這個(gè)時(shí)期完成的。

但是除了少數(shù)人如弗雷格和皮亞諾外，許多數(shù)學(xué)家忽視邏輯的作用，看不到數(shù)理邏輯對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的重要性。 1900年7月，羅素到巴黎參加國際哲學(xué)會(huì)議時(shí)遇到了皮亞諾，這件事對羅素的學(xué)術(shù)生涯來說是一個(gè)重大的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。 通過聆聽皮亞諾的講話，羅素才意識到數(shù)理邏輯對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的重要性．于是羅素向他請教并表示希望拜讀 他的著作，在讀完皮亞諾的有關(guān)著作后，羅素很快地掌握了皮亞諾的符號邏輯和思想，在此基礎(chǔ)上他開始了數(shù)理 邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究工作，其主要成果是《數(shù)學(xué)的原理》一書。

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域羅素的主要成就有兩個(gè)方面，一是他通過建立邏輯類型論來消除邏輯悖論；二是他從一個(gè)較為簡單 的邏輯系統(tǒng)出發(fā)加之少量非邏輯公理推導(dǎo)出經(jīng)典數(shù)學(xué)。為了消除悖論，羅素首先在《數(shù)學(xué)的原理》提出了類型論。

1901年羅素曾提出過一個(gè)集合論的悖論，羅素為了讓普通老百姓了解數(shù)學(xué)本身存在的矛盾，后來又把它改編成 通俗的形式，即所謂“理發(fā)師悖論”：一個(gè)村莊里的理發(fā)師說：“我只給那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)�！蹦敲催@ 個(gè)理發(fā)師該不該給自己理發(fā)呢？ 經(jīng)過分析羅素發(fā)現(xiàn)，從理發(fā)師的聲明出發(fā)，無論怎樣推論，得到的都是與假設(shè)相反的結(jié)論。羅素將他的發(fā)現(xiàn) 寫信告訴了弗雷格。弗雷格說，“羅素悖論”的發(fā)現(xiàn)使他大為驚愕，由于這個(gè)悖論，他的著作《算術(shù)原理》 中的第五公理便是錯(cuò)的，必須給予剔除，他感覺算術(shù)的基礎(chǔ)發(fā)生了動(dòng)搖。

為了尋找解決悖論的方法，1906年羅素在論文“關(guān)于超窮數(shù)和超窮序型理論中的一些困難”中又提出 了另外三種理論，即曲折論、限量論和無類論。

在無類論和惡性循環(huán)原則的基礎(chǔ)上，羅素于1908年在論文“以類型論為基礎(chǔ)的數(shù)理邏輯”中進(jìn)一步 提出了分支類型論的理論。 在分支類型論中，羅素從命題函項(xiàng)出發(fā)，對其進(jìn)行分層處理，將其分屬不同的“階”。 處于底層的是個(gè)體，它們既非命題又非命題函項(xiàng)；比它高一層次的是一階命題函項(xiàng)，它們是僅以 以前一層次中的個(gè)體為變元（自變元或約束變元）而構(gòu)成；更高一層次的是二階命題函項(xiàng)，它以 一階函項(xiàng)為變元。類似地，羅素對命題也進(jìn)行了分層處理，將其分成不同的階，而且進(jìn)一步將命 題的真值也分屬不同的階。這樣運(yùn)用邏輯類型論便可以消除各種邏輯悖論。羅素的這種類型論本 質(zhì)上屬于簡單類型論，在用它來處理數(shù)、命題或語義學(xué)悖論時(shí)是有困難的。

在數(shù)理邏輯方面，羅素還發(fā)展了弗雷格和皮亞諾的工作，在《數(shù)學(xué)原理》中建立了一個(gè)完全的命題演算和 謂詞演算系統(tǒng)；發(fā)展并給出了一個(gè)完全的關(guān)系邏輯系統(tǒng)；以及提出了摹狀詞理論。羅素的這個(gè)思想后來在 奎因1937年有關(guān)數(shù)理邏輯的工作中得到發(fā)展。限量論是羅素在研究布拉里-福爾蒂悖論后提出的，它的主要 論點(diǎn)是否認(rèn)全類和不加限制的某些概念的存在性，從而避免過大的類。

羅素致力于將數(shù)學(xué)建筑在邏輯的基礎(chǔ)之上

羅素學(xué)識淵博，通曉的學(xué)科之多大概是在20世紀(jì)學(xué)者們很少有的，而且他在哲學(xué)、數(shù)學(xué)、教育學(xué)、社會(huì)學(xué)、 政治學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域都頗有建樹。他的哲學(xué)觀點(diǎn)多變，以善于吸取別人見解、勇于指出自己的錯(cuò)誤和弱點(diǎn)而著稱。 他的主要數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)與哲學(xué)著作有《論幾何學(xué)的基礎(chǔ)》、《萊布尼茨的哲學(xué)》、《數(shù)學(xué)原則》、《數(shù)學(xué)原理》 （與懷特海合著，1910年至1913年間完成）等。

19世紀(jì)下半葉，數(shù)學(xué)家對微積分的理論基礎(chǔ)進(jìn)行了嚴(yán)格處理。魏爾斯特拉斯用"ε-δ" 的方法重新表述了 柯西的極限論，把微積分理論建立在實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)上；接著，戴德金和康托爾分別從有理數(shù)出發(fā)定義了實(shí)數(shù)； 之后，魏爾斯特拉斯和皮亞諾從自然數(shù)出發(fā)定義了有理數(shù)，并且皮亞諾還從不經(jīng)定義的“集合”、“自然數(shù)”、 “后繼者”等概念出發(fā)，用公理化的方法塑述了自然數(shù)理論；最后康托爾建立了無窮集合的理論。康托爾的 這項(xiàng)工作起源于對三角級數(shù)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題的研究，他先提出了點(diǎn)集理論，進(jìn)而又提出了一般無窮集合論。 與此同時(shí)，數(shù)理邏輯通過布爾、施羅德、皮亞諾和弗雷格等人的工作得到了長足的進(jìn)步。

在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究方面，羅素繼弗雷格之后奉行邏輯主義的研究綱領(lǐng)，其核心思想是認(rèn)為可以將數(shù)學(xué)還原為邏輯學(xué)，從而奠定數(shù)學(xué)的牢固基礎(chǔ)。因此在他看來，在數(shù)學(xué)與邏輯之間完全劃不出一條界限來，它們二者實(shí)際上是一門學(xué)科，它們的不同就象兒童與成人的不同，邏輯是數(shù)學(xué)的少年時(shí)代，數(shù)學(xué)是邏輯的成人時(shí)代。

羅素是20世紀(jì)影響最大、聲望最高的思想家之一，也是一位罕見的博學(xué)多產(chǎn)的作家。1970年2月，98歲高齡的羅素與世長辭。他給后人留下了七十多部論著和幾千篇論文，涉及哲學(xué)、數(shù)學(xué)、倫理、政治、歷史、文學(xué)及教育等諸多領(lǐng)域。