遺憾的是，芝諾的著作沒有能流傳下來，我們是通過批評他的亞里士多德及其注釋者辛普里西奧斯才得以了解芝諾悖論的要旨的。

直到19世紀(jì)中葉，人們對于亞里士多德關(guān)于芝諾悖論的引述及批評幾乎是深信不疑的，普遍認(rèn)為芝諾悖論只不過是一些有趣的謬見。英國數(shù)學(xué)家B·羅素（Russell）感慨地說道：“在這個變化無常的世界上，沒有什么比死后的聲譽更變化無常了。死后得不到應(yīng)有的評價的最顯眼的犧牲品莫過于埃利亞的芝諾了。他雖然發(fā)明了4個無限微妙、無限深邃的悖論，后世的大批哲學(xué)家們卻宣稱他只不過是一個聰明的騙子，而他的悖論只不過是一些詭辯。

柏拉圖在他的《巴門尼德》篇中，記敘了芝諾和巴門尼德在公元前5世紀(jì)的中期去雅典的一次訪問。其中說：“巴門尼德年事已高，約65歲，滿頭白發(fā)，但儀表堂堂。那時芝諾約40歲，身材魁梧而美觀�！� 并在書中記述了芝諾的觀點。據(jù)說芝諾在為巴門尼德的“存在論”辯護。但是不象他的老師那樣企圖從正面去證明存在是“一”不是“多”，是“靜”不是“動”，他常常用歸謬法從反面去證明：“如果事物是多數(shù)的，將要比是‘一’的假設(shè)得出更可笑的結(jié)果�！彼�用同樣的方法，巧妙地構(gòu)想出一些關(guān)于運動的論點。他的這些議論，就是所謂“芝諾悖論”。芝諾有一本著作《論自然》。在柏拉圖的《巴門尼德》篇中，當(dāng)芝諾談到自己的著作時說：“由于青年時的好勝著成此篇，著成后，人即將它竊去，以致我不能決斷，是否應(yīng)當(dāng)讓它問世�！�

公元5世紀(jì)的評論家普羅克洛斯(Proclus)在給這段話寫的評注中說，芝諾從“多”和運動的假設(shè)出發(fā)，一共推出了四十個各不相同的悖論。芝諾的著作久已失傳，亞里士多德的《物理學(xué)》和辛普里西奧斯為《物理學(xué)》作的注釋是了解芝諾悖論的主要依據(jù)，此外還有少量零星殘篇可提供佐證�，F(xiàn)存的芝諾悖論至少有八個，其中最著名的是關(guān)于運動的四個悖論。

下面就是這四個悖論。引號內(nèi)的是亞里士多德的《物理學(xué)》中的原話。

　　◆ 二分說�！斑\動不存在”。理由是：位移事物在達到目的地之前必須先抵達一半處�！癑·伯內(nèi)特（Burnet）解釋說：即不可能在有限的時間內(nèi)通過無限多個點。在你走完全程之前必須先走過給定距離的一半，為此又必須走過一半的一半，等等，直至無窮。

　　◆ 阿基里斯（Achilles，荷馬史詩《伊里亞特》中的善跑猛將）追龜說�！斑@個論點的意思是說：一個跑得最快的人永遠追不上一個跑得最慢的人。因為追趕者首先必須跑到被追者的起跑點，因此走得慢的人永遠領(lǐng)先�！辈畠�(nèi)特解釋說，當(dāng)阿基里斯到達烏龜?shù)钠鹋茳c時，烏龜已經(jīng)走在前面一小段路了，阿基里斯又必須趕過這一小段路，而烏龜又向前走了。這樣，阿基里斯可無限接近它，但不能追到它。

 ◆ 飛箭靜止說�！叭绻�任何事物，當(dāng)它是在一個和自己大小相同的空間里時（沒有越出它），它是靜止著。如果位移的事物總是在‘現(xiàn)在’里占有這樣一個空間，那么飛著的箭是不動的。”

 ◆ 運動場悖論。“第四個是關(guān)于運動場上運動物體的論點：跑道上有兩排物體，大小相同且數(shù)目相同，一排從終點排到中間點，另一排從中間點排到起點。它們以相同的速度沿相反方向作運動。芝諾認(rèn)為從這里可以說明：一半時間和整個時間相等”。

【關(guān)于芝諾悖論的分析與研究】

現(xiàn)在把這3個悖論聯(lián)系起來分析。誠如亞里士多德所說，阿基里斯追龜說其實可以歸結(jié)為二分說。按照二分說，阿基里斯在到達烏龜?shù)钠鹋茳c之前，必須先走過這段距離的1/2，為此，又必須先走過1/4，1/8，等等，即必須在有限的時間內(nèi)通過無限多個點，因此按芝諾的理由，阿基里斯根本就動彈不了。

芝諾悖論揭示的是事物內(nèi)部的稠密性和連續(xù)性之間的區(qū)別，是無限可分和有限長度之間的矛盾，亞里士多德沒有能覺察到這一點，當(dāng)然實際上沒有能駁倒芝諾。P·湯納利（Tannery）在1885年指出，芝諾悖論所反對的是那種認(rèn)為空間是點的總和、時間是瞬刻的總和的概念。換句話說，芝諾并不否認(rèn)運動，但是他想證明在空間作為點的總和的概念下運動是不可能的。

芝諾的類似觀點還表現(xiàn)在他的兩個針對“多”的悖論中。其中一個見于失傳的芝諾原著的如下一段殘篇：

如果有許多事物，那就必須與實際存在的事物相符，既不多也不少�？墒侨绻�有象這樣多的事物，事物（在數(shù)目上）就是有限的了。如果有許多事物，存在物（在數(shù)目上）就是無窮的。因為在各個事物之間永遠有一些別的事物，而在這些事物之間又有別的事物。這樣一來，存在物就是無窮的了。

芝諾認(rèn)為存在若是“多”就會導(dǎo)致無窮的論證，也表達在另一個悖論里。它被辛普里西奧斯至少是部分地逐字逐句記述下來。這些記述不象阿基里斯追龜說和飛箭靜止說那樣經(jīng)后人或多或少地修改過，雖然表達得沒有那么清楚，但是卻更接近于芝諾的原話。辛普里西奧斯在他的引言里說，芝諾首先論證既無“大小”又無厚度的東西是不能存在的�！耙驗槿绻�這樣，它加在某物之上不能使其變大，從某物減去也不能使其變小。但是，如果不能因增加它而使一物增大，也不能因減少它而使一物減小，這就明顯地看出，所增加或所減少的是零�！�

因此，把任意數(shù)目的這些“無”元素加在任何東西上都不會使它增大，反之從任何東西里減去它們也不會使它變小；當(dāng)然，把這些“無”元素通通加起來，即使其數(shù)目有無限多個，其總和還是“無”。上述悖論和關(guān)于運動的前三個悖論的共同點，在于假定了空間、時間和物體的無限可分性，實際上還討論了無窮小和連續(xù)性。芝諾在這里其實還援引了如下兩個假設(shè)：

　　i) 無限多個相等的任意小的正量的總和必然是無窮大；

　　ii) 無限多個沒有大小的量的總和仍然是沒有大小的量。

　　其中假設(shè)ii)是芝諾反對把線段(時間、空間)看成是一個無限點集(無限多個沒有大小的量的總和)的主要依據(jù)。因此解決芝諾悖論的一個關(guān)鍵就是證明假設(shè)ii)不成立。A·格蘭巴姆(Grünbaum)于1952年詳盡地討論了這個問題。他把只含有一個點的子區(qū)間定義為退化子區(qū)間，從而得出下列結(jié)論：

　　1)有限區(qū)間(a，b)是退化子區(qū)間的連續(xù)統(tǒng)的并集；

　　2)每個退化子區(qū)間的長度是零；

　　3)區(qū)間(a，b)的長度是b—a；

4)一個區(qū)間的長度不是它的基數(shù)的函數(shù)。

　　因此，芝諾的假設(shè)ii)不能成立。事實上，將一個線段（或別的量）按二分法進行無限分割，不可能有最后元素。因為既是無限分割，它就是一個沒有最后一項的永遠不能完成的過程。在取極限的意義上，按結(jié)論1)，有限區(qū)間(a，b)成為不可數(shù)的無限個退化子區(qū)間的并集，這時雖然每個退化子區(qū)間(或每個點)的長度為0，但整個并集的長度不是0，而是b—a(按結(jié)論3))。這樣，作為對芝諾和亞里士多德的回答，時間和距離都是作為無長度元素(點)的無窮集合的線性連續(xù)統(tǒng)。換言之，線段是點的無窮集合，而時間是無廣延的瞬刻的無窮集合，它們都是線性連續(xù)統(tǒng)。這樣，飛箭靜止說這一悖論，原來指在任一給定的瞬刻是不動的但在由無限多瞬刻組成的連續(xù)體上卻是動的，現(xiàn)在轉(zhuǎn)換成一個新的“悖論”：由無廣延的點組成的無窮集卻有廣延。

      這是古代文獻中第一個涉及相對運動的問題，在現(xiàn)存的芝諾悖論中，它是唯一的和連續(xù)統(tǒng)問題無關(guān)的問題。不過也有學(xué)者(例如P。湯納利等人)認(rèn)為它和連續(xù)統(tǒng)問題是有著某種聯(lián)系的。 

【對芝諾的評價、研究及起對后世的影響】 

19世紀(jì)下半葉學(xué)者們開始重新研究芝諾，他們推測芝諾的理論在古代沒有得到完整的、正確的報道，而是被詭辯家們用作倡導(dǎo)懷疑主義和否定知識的工具，從而背離了芝諾的真正宗旨。而亞里士多德正是按照被詭辯家們歪曲過的形象來引述芝諾悖論的。然而迄今為止，學(xué)者們還找不出可靠的證據(jù)足以推翻亞里士多德和辛普里西奧斯關(guān)于芝諾悖論的記述。由于目前對希臘哲學(xué)史了解得還不夠，對于芝諾提出這些悖論的目的何在尚不清楚。比較一致的意見是：芝諾關(guān)于運動的悖論并不是簡單地否認(rèn)運動，芝諾責(zé)難“多”也不是簡單地把兩只羊說成一只羊。在這些悖論后面有著更深層的內(nèi)涵。亞里士多德的著作保存了芝諾悖論的大意，功不可沒，但是他對于芝諾悖論的分析和批評并非十分成功，是值得重新研究的。

關(guān)于芝諾悖論對于古代希臘數(shù)學(xué)發(fā)展的重要性，在科學(xué)史學(xué)者中的意見是很不一致的。P·湯納利首先提出，芝諾和巴門尼德哲學(xué)的關(guān)系并不如古代傳說中所肯定的那樣密切。相比之下，因畢達哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)不可公度量而出現(xiàn)的一些問題，對于芝諾具有更加深刻的影響。基于同樣的假設(shè)，H.赫斯(Hasse)和H·斯科爾斯(Scholz)想把芝諾說成是對古代數(shù)學(xué)的發(fā)展方向起決定影響的人物。他們試圖證明，畢達哥拉斯學(xué)派曾假定存在無限小的基本線段(初等線段)，想以此來克服因發(fā)現(xiàn)不可公度量而引起的困難。芝諾所反對的正是這種處理無窮小的不準(zhǔn)確的做法，從而迫使下一代的畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家去探求更好、更準(zhǔn)確的基礎(chǔ)。另有一些學(xué)者持有完全不同的意見。B·L·范德瓦爾登指出，我們已知的關(guān)于公元前五世紀(jì)下半葉的數(shù)學(xué)理論——不可公度量的發(fā)現(xiàn)無疑是那個時代作出的——并不支持芝諾曾經(jīng)對那個時代的數(shù)學(xué)發(fā)展作過任何重大貢獻的說法。

雖然芝諾時代已經(jīng)過去二千四百多年了，但是圍繞芝諾的爭論還沒有休止。不論怎樣，人們無須擔(dān)心芝諾的名字會從數(shù)學(xué)史上一筆勾銷。正如美國數(shù)學(xué)史家E.T.貝爾(Bell)所說，芝諾畢竟曾“以非數(shù)學(xué)的語言，記錄下了最早同連續(xù)性和無限性格斗的人們所遭遇到的困難�！�

芝諾的功績在于他在柏拉圖學(xué)園中多次發(fā)起關(guān)于動和靜的關(guān)系、無限和有限的關(guān)系、連續(xù)和離散的關(guān)系的討論。引起人們對他提出的這些悖論的關(guān)注與研究。雖然人們無法判斷他對古典希臘數(shù)學(xué)的發(fā)展有無直接的重要影響，但有一個事實是柏拉圖在《巴門尼德》中討論的一個主要話題就是關(guān)于芝諾的悖論，因此芝諾明顯是書中的主角之一。

      當(dāng)時歐多克索斯（Eudoxus）正在柏拉圖學(xué)園中攻讀和研究數(shù)學(xué)與哲學(xué)。他后來創(chuàng)立了新的比例論，從而克服了因發(fā)現(xiàn)不可公度量而出現(xiàn)的數(shù)學(xué)危機；并完善了窮竭法，巧妙地處理了無窮小問題。在希臘數(shù)學(xué)發(fā)展的關(guān)鍵時刻，應(yīng)當(dāng)說芝諾也做出過有意義的貢獻。