中國數(shù)學(xué)史上最先完成勾股定理證明的數(shù)學(xué)家趙爽

 趙爽，字君卿，又名嬰，東漢末至三國時代的吳國人。生平不詳，大約生活于公元3世紀(jì)初。

據(jù)史料記載，趙爽曾經(jīng)研究過張衡的天文數(shù)學(xué)著作《靈憲》和劉洪的《乾象歷》，也提到過“算術(shù)”，他對數(shù)學(xué)有深刻的理解。
　        

趙爽在數(shù)學(xué)上最主要的貢獻(xiàn)是，他在公元222年，深人研究了《周牌算經(jīng)》，不僅為該書寫了序言，還作了非常詳細(xì)的注釋。他的工作有圖為證，永載史冊。趙爽在《周髀算經(jīng)注》中，逐段解釋《周髀算經(jīng)》的內(nèi)容，而最為精彩的是附錄于首章的“勾股圓方圖”，短短500余字，附圖六張，概括了《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》《九章算術(shù)》以來中國人關(guān)于勾股算術(shù)的成就，其中包含了勾股定理。 

在《周髀算經(jīng)》的開篇是以對話的方式記載了公元前11世紀(jì)政治家周公與大夫商高討論了勾股測量問題。商高曰：“數(shù)之法出于圓方。圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅五 。既方其外，半之一矩，環(huán)而共盤得三、四、五，兩矩共長二十有五是謂積矩。故禹之所以治天下者此數(shù)之所由生也�！� 商高答周公問時提到“勾廣三，股修四，徑五”，這是勾股定理的特例，因此它又被稱為商高定理。它說明早在商高那個年代，人們就在討論這個問題的解法了。

趙爽的《周髀算經(jīng)注》是數(shù)學(xué)史上極有價值的文獻(xiàn)。它記述了勾股定理的理論證明，將勾股定理表述為：“勾股各自乘，并之，為弦實。開方除之，即弦�！弊C明方法敘述為：“按弦圖，又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股之差自相乘為中黃實，加差實，亦成弦實。”他撰成《勾股圓方圖說》，附錄于《周髀》首章的注文中，勾股圖說。短短五百多字，簡練地總結(jié)了后漢時期勾股算術(shù)的輝煌成就，不僅勾股定理和其它關(guān)于勾股弦的恒等式獲得了相當(dāng)嚴(yán)格的證明，并且對二次方程解法提供了新的意見。     

　

趙爽在《周髀算經(jīng)》注中給出的《勾股圓方圖注》是勾股定理最早的證明。趙爽是利用割補(bǔ)法證明了勾股定理的。他畫了一張“弦圖”，其中每一個直角三角形稱為“朱實”，中間的一個小正方形叫“中黃實”，以弦為邊的正方形ABEF叫“弦實”。由于四個朱實加上一個中黃實就等于弦實，趙爽就是這樣利用割補(bǔ)法證明了勾股定理所以有下式成立：即 a2＋b2＝c2 。


　

作“勾股圓方圖”，其中的“弦圖”，相當(dāng)于運(yùn)用面積的出入相補(bǔ)證明了勾股定理。如圖考慮以一直角三角形的勾和股為邊的兩個正方形的合并圖形，其面積應(yīng)有a2 + b2  。如果將這合并圖形所含的兩個三角形移補(bǔ)到圖中所示的位置，將得到一個以原三角形之弦為邊的正方形，其面積應(yīng)為c2， 因此a2 + b2 = c2。趙爽這一簡潔優(yōu)美的證明，可以看作是對《周髀算經(jīng)》中緊接在“勾三股四弦五” 特例之后的一段說明文字的詮釋，《周髀算經(jīng)》的這段文字說：“既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三、四、五。兩矩共長二十有五，是謂積矩”。

趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴(yán)密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹立了一個典范。以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且代有發(fā)展。例如稍后一點(diǎn)的劉徽在證明勾股定理時也是用的以形證數(shù)的方法，只是具體圖形的分合移補(bǔ)略有不同而已。

中國古代數(shù)學(xué)家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。正如當(dāng)代中國數(shù)學(xué)家吳文俊所說：“在中國的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，數(shù)量關(guān)系與空間形式往往是形影不離地并肩發(fā)展著的……十七世紀(jì)笛卡兒解析幾何的發(fā)明，正是中國這種傳統(tǒng)思想與方法在幾百年停頓后的重現(xiàn)與繼續(xù)�！�

 趙爽是中國古代最早對數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行證明與推導(dǎo)的數(shù)學(xué)家之一，他在《周髀算經(jīng)》書中補(bǔ)充的“勾股圓方圖及注”和“日高圖及注”是十分重要的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)。在“勾股圓方圖及注”中他提出用弦圖證明勾股定理和解勾股形的五個公式；在“日高圖及注”中，他用圖形面積證明漢代普遍應(yīng)用的重差公式，趙爽的工作是帶有開創(chuàng)性的，由于他取得的成就，在中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展中占有重要地位。趙爽與劉徽的工作為中國古代數(shù)學(xué)體系奠定了理論基礎(chǔ)。

趙爽在“勾股圓方圖”說中還類似地證明了勾股定理的許多推論,，此外他還給出了一張“日高圖”，是用面積出入相補(bǔ)的方法去證明《周髀算經(jīng)》中的日高公式。

    

公元3世紀(jì)，三國時代的東吳數(shù)學(xué)家趙爽用非常優(yōu)美的方法——弦圖，證明了勾股定理。該圖不僅代表了古代中國曾經(jīng)為世界數(shù)學(xué)的發(fā)展做出過重要貢獻(xiàn)，同時該圖也反映了數(shù)學(xué)的簡潔之美，因此被第24屆國際數(shù)學(xué)家大會組委會確定大會的會標(biāo)。左圖是這個作為會標(biāo)圖形的一個動畫。

該圖形旋轉(zhuǎn)起來很像一個風(fēng)車，既反映中國人在數(shù)學(xué)研究中的創(chuàng)新精神，又代表了熱情好客的中國人民的心愿，“歡迎世界各國的數(shù)學(xué)家到中國來參加第24屆國際數(shù)學(xué)家大會”。

選擇它作為第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)是非常有意義的。因為它一方面代表了中國古代的數(shù)學(xué)家研究勾股定理所做出的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)，我們在記住這個圖標(biāo)的同時也記住了中國古代的數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理的方法，是一個具有豐富內(nèi)涵與象征的圖標(biāo)。

　

這是一個非常好的創(chuàng)意。這個圖留給給各國的數(shù)學(xué)家留下了深刻的印象，他們看到這個圖標(biāo)就會想起在中國召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會，喚起他們在北京的美好記憶。