祖沖之在歷法研究中的高精確度

我國歷代都有專門從事天文研究的部門和官員，并且是根據(jù)天文研究的結(jié)果來制定歷法。到了宋朝的時(shí)候，歷法已經(jīng)有很大進(jìn)步，但是祖沖之認(rèn)為還不夠精確。祖沖之根據(jù)他長期的觀測(cè)與實(shí)際的計(jì)算發(fā)現(xiàn)原來的歷法有嚴(yán)重誤差。因此在他三十三歲時(shí)成功地編制了《大明歷》（“大明”是宋孝武帝的年號(hào)）開創(chuàng)了歷法史的新紀(jì)元。這種歷法測(cè)定的每一回歸年，（就是兩年冬至點(diǎn)之間的時(shí)間）的天數(shù)，跟現(xiàn)代科學(xué)測(cè)定的相差只有五十秒；測(cè)定月亮環(huán)行一周的天數(shù)，跟現(xiàn)代科學(xué)測(cè)定的相差不到一秒，可見它的精確程度是非常高的。

公元462年，祖沖之請(qǐng)求宋孝武帝頒布新歷，孝武帝召集大臣商議此事。當(dāng)時(shí)有一個(gè)皇帝重用的大臣戴法興跳出來堅(jiān)決反對(duì)。他認(rèn)為祖沖之擅自改變古歷，是離經(jīng)叛道的行為。祖沖之當(dāng)場(chǎng)就用他研究的數(shù)據(jù)進(jìn)行反駁。但是戴法興仗著皇帝的權(quán)勢(shì)，蠻橫地說：“歷法是古人制定的，后代的人不應(yīng)該改動(dòng)�！弊鏇_之對(duì)此并不害怕，他說：“你如果有事實(shí)依根，就只管拿出來辯論。不要拿空話來嚇唬人�！彼涡⑽涞巯霂椭�戴法興，就找了一些懂得歷法的人與祖沖之辯論，但是這些人一個(gè)個(gè)都被祖沖之駁倒了。但是宋孝武帝仍然還是不肯頒布新歷。直到祖沖之死了十年之后，他創(chuàng)制的大明歷才得到推行。

祖沖之最突出的成就是關(guān)于圓周率的計(jì)算

在秦漢之前，人們都是以“徑一周三”做為圓周率，這就是所謂的“古率”。但是后來人們發(fā)現(xiàn)古率誤差太大了，不能夠滿足一些精度要求比較高的應(yīng)用需求。雖然人們知道圓周率應(yīng)是“圓徑一而周三有余”，不過究竟余多少，意見并不一致。

直到三國時(shí)期，劉徽用“割圓術(shù)”的方法，提出了用圓內(nèi)接正多邊形的周長來逼近圓周長思想。他用圓內(nèi)接96邊形，計(jì)算出的π值為3.14，這個(gè)結(jié)果比古率要精確一些了。劉徽還指出，內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，所求得的π值越精確。就是他說的“   ”分割越細(xì)，誤差就越小。

劉徽從圓內(nèi)接正六邊形起算，令邊數(shù)一倍一倍地增加，即12、24、48、96、…、1536，…，因而逐個(gè)算出六邊形、十二邊形、二十四邊形……的邊長，這些數(shù)值逐步地逼近圓周率。劉徽方法的特點(diǎn)，是得出一批一個(gè)大于一個(gè)的數(shù)值，這樣來一步一步地逼近圓周率。這方法是可以無限精密地逼近圓周率的，但每一項(xiàng)都比圓周率小。

祖沖之接受了劉徽割圓術(shù)的思想，學(xué)習(xí)了他的計(jì)算方法，但是他并不滿意3.14的計(jì)算結(jié)果。因此
他進(jìn)一步計(jì)算，算到圓內(nèi)接正1536邊形，得出圓周率3.1416。但是他仍然不滿足于這一結(jié)果，于是又繼續(xù)計(jì)算下去，直到得出3.1415926＜π＜3.1415927。         

 祖沖之在數(shù)學(xué)上最大的貢獻(xiàn)就是他給出了關(guān)于圓周率π的兩個(gè)重要的計(jì)算結(jié)果。

（1）3.1415926＜π＜3.1415927； 

這是世界上最早給出了精確的圓周率π值的范圍，精確到了小數(shù)點(diǎn)后七位，在當(dāng)時(shí)的條件下，這個(gè)誤差是非常小的，這是非常了不起的。如果是用劉徽的“割圓術(shù)”的方法來求得此值的話，就是要計(jì)算圓內(nèi)接16，384邊形的數(shù)值，這是一項(xiàng)多么巨大的計(jì)算任務(wù)呀，需要花費(fèi)多少時(shí)間和付出多少辛勤勞動(dòng)啊！祖沖之在科學(xué)研究中追求的高精度也是以往所不多見的，正是這種不斷探索，精益求精的精神才使他的記錄保持了近700年之久。如果不是計(jì)算方法或計(jì)算工具上有所突破的話，這個(gè)結(jié)果后人是很難超越的。因此他的科學(xué)精神和頑強(qiáng)毅力是永遠(yuǎn)值得我們學(xué)習(xí)的。      

（2）給出了π的分?jǐn)?shù)形式的近似值約率22/7和密率355/113。

  這兩個(gè)值是在劉徽割圓術(shù)之后的關(guān)于π的研究的非常重要的進(jìn)展。

   祖沖之在前人成就的基礎(chǔ)上，經(jīng)過刻苦鉆研，反復(fù)演算，求出π在3.1415926與3.1415927之間。并得出了π分?jǐn)?shù)形式的近似值，取22/7為約率，取355/113為密率。它是分子分母在1000以內(nèi)最接近π值的分?jǐn)?shù)。祖沖之究竟用什么方法得出這一結(jié)果，現(xiàn)在無從考查。 祖沖之計(jì)算得出的密率，外國數(shù)學(xué)家獲得同樣的結(jié)果，那已經(jīng)是在一千多年以后的事了。為了紀(jì)念祖沖之所做出的杰出貢獻(xiàn)，有些外國數(shù)學(xué)史家建議把π叫做“祖率”。 　

祖沖之在圓周率計(jì)算方面的貢獻(xiàn)不僅得到了中國人的尊敬，同時(shí)他也受到世界各國科學(xué)家們的推崇。1960年，蘇聯(lián)科學(xué)家們?cè)谘芯苛嗽虑虮趁娴恼掌�以后，他們用世界上一些最有貢獻(xiàn)的科學(xué)家的名字，來命名月球上的山谷，其中有一座環(huán)形山就被命名為“祖沖之環(huán)形山”�？梢娮鏇_之在國際上影響也是很大的。

盡管祖沖之所在的年代，社會(huì)十分動(dòng)亂不安，但是他還是孜孜不倦地研究科學(xué)。在數(shù)學(xué)方面他取得很多的成就。他曾經(jīng)對(duì)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》作了注釋，還編寫一本《綴術(shù)》。