楊輝最主要的貢獻(xiàn)主要是在以下幾個(gè)方面，首先他在《九章算法纂類》中記載有賈憲“增乘開(kāi)平方法”、“增乘開(kāi)立方法”；然后繼沈括研究“隙積術(shù)”之后，研究了“垛積術(shù)”，即關(guān)于高階等差數(shù)列的解法！同時(shí)他還非常注重?cái)?shù)學(xué)的普及教育，他的許多著作都是為此而編寫(xiě)的教科書(shū)。 

楊輝在自己的《詳解九章算術(shù)》一書(shū)中，把賈憲的這張畫(huà)詳實(shí)地記錄了下來(lái)。后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)大三角形不僅可以用來(lái)開(kāi)方和解方程，而且與組合、高階等差級(jí)數(shù)、內(nèi)插法等數(shù)學(xué)知識(shí)都有密切關(guān)系。在西方，直到16世紀(jì)才有人在一本書(shū)的封面上繪出類似的圖形。法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年的論文中詳細(xì)地討論了這個(gè)圖形的性質(zhì)，所以在西方人們稱之為“帕斯卡三角”。

楊輝是世界上第一個(gè)排出豐富的縱橫圖和討論其構(gòu)成規(guī)律的數(shù)學(xué)家。關(guān)于他的這一成就，還流傳著一段有趣的故事。

一天臺(tái)州府的地方官楊輝乘轎出外巡游，一路上，前面有銅鑼開(kāi)道，后面有衙役跟著，很是威風(fēng)。而坐在轎中的楊輝不時(shí)地撩起轎簾，觀看著路邊的風(fēng)光景色和田地里的莊稼，想著今年的年景。

走著、走著，只見(jiàn)開(kāi)道的鏜鑼停了下來(lái)，前面?zhèn)鱽?lái)一個(gè)孩子的喊叫聲，接著是衙役大聲的訓(xùn)斥聲。楊輝忙問(wèn)怎么回事，差人來(lái)報(bào)：“這孩子不讓我們過(guò)，說(shuō)等他把題目算完后才讓走，要不就繞道�！�

楊輝一看來(lái)了興趣，連忙下轎走上前來(lái)。衙役忙問(wèn)：“是不是把這個(gè)小孩哄走？”楊輝摸著孩子頭問(wèn)：“為何不讓本官?gòu)拇颂庍^(guò)呀？”小孩回答：“不是不讓過(guò)，我是怕你們把我的算式踩掉了，我就想不起來(lái)了�！薄笆裁此闶剑俊薄熬褪前�1到9的數(shù)字分三行排列，不論直著加，橫著加，還是斜著加，結(jié)果都是等于15。我們先生讓下午一定要把這道題做好。我正算到關(guān)鍵之處。”

楊輝連忙蹲下身，仔細(xì)地看那孩子的算式，覺(jué)得這個(gè)數(shù)字，曾經(jīng)在哪兒見(jiàn)到過(guò)。仔細(xì)一想，原來(lái)是西漢學(xué)者戴德編纂的《大戴禮》書(shū)中所寫(xiě)的文章中提到過(guò)。

孩子望著這位慈祥和善的地方官說(shuō)：“耽擱你的時(shí)間了，到我家去吃飯吧！”楊輝一聽(tīng)，說(shuō)：“好，好，下午我也去見(jiàn)見(jiàn)你先生�！� 孩子望著楊輝，淚眼汪汪，楊輝心想，這一定是有什么原因。他便態(tài)度溫和地問(wèn)孩子：“到底是怎么回事呀？”

孩子告訴楊輝：原來(lái)他并沒(méi)有上學(xué)，因?yàn)樗�的家中窮得連飯都吃不飽，哪有錢供他去讀書(shū)呢！孩子說(shuō)，他每天給地主家放牛，當(dāng)先生給學(xué)生上課時(shí)，他就悄悄地躲在教室的窗外偷聽(tīng)，今天上午先生出了這道題，他就在這路上認(rèn)真地計(jì)算起來(lái)。

楊輝聽(tīng)了之后，十分感動(dòng)。這個(gè)孩子小小年紀(jì)就知道這樣努力地學(xué)習(xí)知識(shí)，實(shí)在不易。便對(duì)孩子說(shuō)：“這是10兩銀子，你拿回家去吧。下午你到學(xué)校去，我在那兒等你�！毕挛纾瑮钶x帶著孩子來(lái)到學(xué)校，他把這孩子的情況跟先生說(shuō)了一遍，又掏出銀兩，為孩子交了學(xué)費(fèi)。從此這個(gè)孩子才能夠正式地坐在教室里跟先生學(xué)習(xí)，孩子的家人對(duì)楊輝更是感激不盡。

教書(shū)先生對(duì)楊輝的清廉為人非常敬佩，于是他們一起談?wù)撈饠?shù)學(xué)。楊輝說(shuō)道：“方才我和孩子做的那道題好像是《大戴禮》書(shū)中的？” 先生笑著說(shuō)：“是的，《大戴禮》雖然是一部記載各種禮儀制度的文集，但其中也包含著一些數(shù)學(xué)的知識(shí)。這個(gè)就是我給孩子們出的數(shù)學(xué)游戲題�！毕壬�看到楊輝疑惑的神情，又說(shuō)道：“南北朝的甄鸞在《數(shù)術(shù)記遺》一書(shū)中就寫(xiě)過(guò)：“九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履，一五居中央�！睏钶x默念一遍，發(fā)現(xiàn)他說(shuō)的正與上午他和孩子擺的數(shù)字是一樣的，便問(wèn)道：“你可知道這個(gè)九宮圖是如何造出來(lái)的？” 教書(shū)先生也不知出處。 

楊輝回到家中，反復(fù)琢磨，一有空閑就在桌上擺弄著這些數(shù)字，終于發(fā)現(xiàn)一條規(guī)律。他把這條規(guī)律總結(jié)成四句話：九子斜排，上下對(duì)易，左右相更，四維挺出”。就是說(shuō)：一開(kāi)始將九個(gè)數(shù)字從大到小斜排三行，然后將9和1對(duì)換，左邊7和右邊3對(duì)換，最后將位于四角的4、2、6、8分別向外移動(dòng)，排成縱橫三行，就構(gòu)成了九宮圖。

按照類似的規(guī)律，楊輝又得到了“花16圖”，就是從1到16的數(shù)字排列在四行四列的方格中，使每一橫行、縱行、斜行四數(shù)之和均為34。后來(lái)，楊輝又將散見(jiàn)于前人著作和流傳于民間的有關(guān)這類問(wèn)題加以整理，得到了“五五圖”、“六六圖”、“衍數(shù)圖”、“易數(shù)圖”、“九九圖”、“百子圖”等許多類似的圖。楊輝把這些圖總稱為縱橫圖，并于1275年寫(xiě)進(jìn)自己的數(shù)學(xué)著作《續(xù)古摘奇算法》一書(shū)中，并流傳后世。

楊輝是最早研究縱橫圖——幻方的數(shù)學(xué)家

 縱橫圖，也叫幻方，它要求把從1到n2個(gè)連續(xù)的自然數(shù)安置在n2個(gè)格子里，使縱、橫、斜各線上的數(shù)字和等于 ，這其中包含著很深刻的道理。長(zhǎng)期以來(lái)，人們只把它當(dāng)作純粹的數(shù)學(xué)游戲，沒(méi)有給予應(yīng)有重視。隨著近代組合數(shù)學(xué)的發(fā)展，縱橫圖顯示了越來(lái)越強(qiáng)大的生命力，在圖論、組合分析、對(duì)策論、計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域中，找到了用武之地。13世紀(jì)以前，中國(guó)數(shù)學(xué)家只把它看成一種數(shù)字游戲，并沒(méi)有認(rèn)真研究它。楊輝卻孜孜不倦地探索幻方的性質(zhì)。楊輝利用等差級(jí)數(shù)的求和公式，巧妙地構(gòu)造出了3階和4階的幻方。對(duì)4階以上的幻方，他只給出了圖形而未留下作法，但他所畫(huà)的5階、6階乃至10階的幻方全都準(zhǔn)確無(wú)誤，可見(jiàn)他已經(jīng)掌握了構(gòu)成規(guī)律，他并稱10階幻方為百子圖，其各行各列之和為505。 楊輝可以說(shuō)是世界上第一個(gè)給出了如此豐富的縱橫圖和討論了其構(gòu)成規(guī)律的數(shù)學(xué)家。

 在歐洲，這方面的發(fā)現(xiàn)和研究要晚許多，第一個(gè)幻方出現(xiàn)在公元130年，也是一個(gè)3階圖，與《易經(jīng)》的洛書(shū)不同；在德國(guó)版畫(huà)家丟勒1514年的名作《憂郁》中，也出現(xiàn)了一個(gè)4階幻想，與楊輝舉過(guò)的一個(gè)例子只是互換了行列。

為開(kāi)展數(shù)學(xué)教育，對(duì)前人的成果進(jìn)行精心的總結(jié)歸納

 從1261年到1275年這15年間，楊輝獨(dú)立完成了5種數(shù)學(xué)著作，包括前文提到的《詳解九章算法》。他的書(shū)寫(xiě)得深入淺出，走到那里都有人請(qǐng)教，因此他也被認(rèn)為是一位重要的數(shù)學(xué)教育家。

楊輝的數(shù)學(xué)研究與教育工作的重點(diǎn)是在計(jì)算技術(shù)方面，他對(duì)籌算乘除便捷算法進(jìn)行了總結(jié)和發(fā)展，有的還編成了歌決，如九歸口決。他在《續(xù)古摘奇算法》中介紹了各種形式的"縱橫圖"及有關(guān)的構(gòu)造方法，同時(shí)“垛積術(shù)”是楊輝繼沈括“隙積術(shù)”后，關(guān)于高階等差級(jí)數(shù)的研究。楊輝在“纂類”中，將《九章算術(shù)》246個(gè)題目按解題方法由淺入深的順序，重新分為乘除、分率、合率、互換、二衰分、疊積、盈不足、方程、勾股等九類。 他非常重視數(shù)學(xué)教育的普及和發(fā)展，在《算法通變本末》中，楊輝為初學(xué)者制訂的"習(xí)算綱目"是中國(guó)數(shù)學(xué)教育史上的重要文獻(xiàn)。 　

楊輝除上述成就外，還分別寫(xiě)了《日用算法》、《乘除通變本末》和《田畝比類乘除捷法》等書(shū)，這為后世的人們了解當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)面貌提供了極為重要的資料。楊輝的著作極大地豐富了我國(guó)古代數(shù)學(xué)寶庫(kù)，為數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展做出了卓越的貢獻(xiàn)，他不愧為“宋元四大家”之一。

摘選自《世界科技全景百卷書(shū)》