1.指標(biāo)定理簡介

這里所謂的指標(biāo)定理，是指由阿蒂亞、辛格(Singer)于1963年證明的，以他們的名字命名的定理。它被公認(rèn)為是二十世紀(jì)最重要的數(shù)學(xué)成就之一。有不少人認(rèn)為如果在二十世紀(jì)中挑選出兩個(gè)最偉大的數(shù)學(xué)定理，那么其中之一就應(yīng)該是阿蒂亞-辛格的指標(biāo)定理(另一個(gè)是外爾斯(Wiles )證明的費(fèi)馬(Fermat)大定理)。它的大意是說：對一個(gè)封閉的彎曲空間上的一類微分算子(稱為線性橢圓微分算子)，可以定義兩個(gè)整數(shù)：一個(gè)是用分析辦法定義的，稱為分析指標(biāo)；另一個(gè)是用拓?fù)滢k法定義的，稱為拓?fù)渲笜?biāo)。在這個(gè)情形下，阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理可以敘述為："對任何一個(gè)線性橢圓微分算子D ，下面的公式成立：D的分析 指標(biāo)= D的拓?fù)渲笜?biāo)。"從這個(gè)定理的字面上就可以大致了解，本質(zhì)上它在數(shù)學(xué)的兩大領(lǐng)域-分析與拓?fù)?之間建立起了一座內(nèi)在的橋梁。像這樣的將兩個(gè)看似無關(guān)的領(lǐng)域緊密結(jié)合起來的結(jié)果，其重要性及應(yīng)用的廣泛性是顯而易見的。從另外一個(gè)角度講，"D的分析指標(biāo)"是通過分析的方法決定的一個(gè)"整體"的不變量，而"D的拓?fù)渲笜?biāo)"經(jīng)由所謂的陳省身-魏依(Chern-Weil)理論可以有一個(gè)"局部"的表達(dá)式。這樣上述的公式就可以有另外一種更抽象同時(shí)也更具哲學(xué)意味的形式："整體=局部的疊加".這里盡管"局部"的量可以任意的變化，但是通過"疊加" (積分)后得到的整體量卻是固定不變的！這種"萬變不離其宗"的要旨體現(xiàn)出驚人的美感，給人
以強(qiáng)烈的震撼。

如此優(yōu)美并顯然有重要意義的定理在數(shù)學(xué)中的地位自然舉足輕重。例如它就包含了當(dāng)時(shí)微分幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)以及代數(shù)幾何學(xué)中的諸多大定理如高斯-博內(nèi)特-陳省身(Gauss-Bonnet-Chern)定理、希策布魯赫(Hirzebruch)符號差定理、希策布魯赫-黎曼-洛赫(Hirzebruch-Riemann-Roch )定理等等為其特例。無怪乎我國指標(biāo)定理專家虞言林教授感嘆：指標(biāo)定理像個(gè)大太陽，許多大定理都圍繞著它轉(zhuǎn)。而著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯(Halmos)在其綜述報(bào)告《數(shù)學(xué)的進(jìn)展慢下來了嗎？》中的評論或許更能說明問題："這項(xiàng)工作的成果是最深刻和最廣泛的。對作為報(bào)告人的我來說，它是這份報(bào)告中最鐵的部分。它們不僅是一個(gè)定理，而且是一種理論、 一個(gè)領(lǐng)域、一種觀點(diǎn)，這種觀點(diǎn)進(jìn)入數(shù)學(xué)的許多部分，同時(shí)也受它們的影響。在寫到過去50年來微分幾何的驚人成就時(shí)，奧瑟曼(Osserman)稱阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理為'分析、拓?fù)渑c幾何的美妙綜合，特別導(dǎo)致對高斯-博內(nèi)特定理的新看法：不是作為孤立的結(jié)論，而是一大群事物中的一個(gè)'."指標(biāo)理論的創(chuàng)始人阿蒂亞、辛格理所當(dāng)然地獲得了國際數(shù)學(xué)界的褒獎(jiǎng)：阿蒂亞獲得了1966年的菲爾茲獎(jiǎng)；阿蒂亞和辛格共同獲得了2004年的阿貝爾獎(jiǎng)。

　　2.中國數(shù)學(xué)家的先驅(qū)性貢獻(xiàn)

高斯-博內(nèi)特-陳省身公式及其發(fā)展中國數(shù)學(xué)家對阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理的形成做出了先驅(qū)性的貢獻(xiàn)。其中最突出的就是陳省身先生于上世紀(jì)四十年代中期的一系列開創(chuàng)性工作，特別是上面已經(jīng)提到的高斯-博內(nèi)特-陳省身定理，還有就是陳省身示性類的提出和研究。陳先生自己說過，他一生最好的工作就是高維高斯-博內(nèi)特公式的內(nèi)蘊(yùn)證明。有鑒于此，更由于高斯-博內(nèi)特-陳省身定理的突出的歷史地位，我們先對這個(gè)定理的來龍去脈作一個(gè)簡略的回顧。

　　事實(shí)上，陳省身先生的工作可以追朔到著名的古希臘歐幾里得(Euclid)的《幾何原本》中的一個(gè)基本定理："平面上任何一個(gè)三角形的內(nèi)角之和等于180度".這個(gè)定理到19世紀(jì)中葉被德國數(shù)學(xué)大師高斯推廣到球面上彎曲三角形的情形，而高斯的定理又被法國數(shù)學(xué)家博內(nèi)特推廣到多邊形的情形。高斯和博內(nèi)特的定理后來在理論和實(shí)際中都有很大的發(fā)展和應(yīng)用，成為二維微分幾何中最重要的定理之一。

　　到了19世紀(jì)下半葉，由于研究物理學(xué)特別是電磁學(xué)的需要，同時(shí)也由于數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的驅(qū)動，高斯的學(xué)生，大數(shù)學(xué)家黎曼提出并研究了高維微分幾何(例如我們所處的空間是三維的)，后來成為愛因斯坦(Einstein)發(fā)展廣義相對論的重要工具。由于高斯-博內(nèi)特公式在二維微分幾何中的重要性，一個(gè)自然而然的問題就是能不能把它推廣到高維微分幾何中去。二十世紀(jì)著名的幾何和拓?fù)鋵W(xué)家霍普夫(Hopf)就在上世紀(jì)20年代撰文認(rèn)為這個(gè)問題是當(dāng)時(shí)微分幾何中最重要的未解決問題。而陳省身先生順應(yīng)歷史潮流，于上世紀(jì)40年代徹底解決了這個(gè)問題�，F(xiàn)在文獻(xiàn)中都把這個(gè)高維情形下的定理稱為高斯-博內(nèi)特-陳省身公式，充分肯定了陳先
生的貢獻(xiàn)。然而，陳先生的偉大貢獻(xiàn)不僅僅限于此。它還反映在以下幾個(gè)方面：其一，他利用了從他的老師，法國大幾何學(xué)家嘉當(dāng)(E. Cartan )那里學(xué)到的獨(dú)特技術(shù)，采用了完全創(chuàng)新的方法，給出了此問題的一個(gè)出人意料的處理，對后來發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響；其二，由他的方法出發(fā)，陳先生意識到"用微分形式來表示拓?fù)洳蛔兞?應(yīng)該在微分幾何中起非常重要的作用。正是由這個(gè)原理出發(fā)考察當(dāng)時(shí)已經(jīng)知道的不變量，并且推陳出新，陳先生定義了現(xiàn)在以他的名字命名的示性類(現(xiàn)通稱陳示性類，Chern class )。

　　陳示性類的提出和發(fā)展，掀開了微分幾何的新篇章。上面提到過的大數(shù)學(xué)家霍普夫評論到："微分幾何由此進(jìn)入了一個(gè)新的時(shí)代".而多年后，年輕一輩的微分幾何代表人物辛格(即阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理的作者之一)寫到："對我們來說，陳就是現(xiàn)代微分幾何".具體到阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理這個(gè)偉大的成就，從以下的兩個(gè)方面可以看出正是陳先生的工作奠定了它的基礎(chǔ)：(i ) 高斯-博內(nèi)特-陳省身公式可以看成是第一個(gè)在任意維數(shù)都成立的指標(biāo)定理的一個(gè)特例，是指標(biāo)定理的先驅(qū)；(ii) 指標(biāo)定理中的拓?fù)渲笜?biāo)本身就是用陳示性類來定義的，這反映了陳示性類的不可或缺的基本重要性！

　　由上面簡短的歷史概述也可以體會，楊振寧先生膾炙人口的詩句"千古寸心事，歐高黎嘉陳" ，贊頌陳先生在幾何學(xué)中的歷史地位直追歐幾里德、高斯、黎曼和嘉當(dāng)，是十分到位的。

　　對指標(biāo)定理的形成做出先驅(qū)性貢獻(xiàn)的另一位中國數(shù)學(xué)家是吳文俊先生。希策布魯赫在其1956年的名著《代數(shù)幾何中的拓?fù)浞椒ā返膶?dǎo)言中指出，是吳文俊最早猜出了4維流形的符號差公式的形式，后來由托姆(Thom)予以證明的(蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家洛赫林(Rokhlin )也獨(dú)立地證明了這個(gè)公式)。而希策布魯赫這本名著的主要定理之一就是把吳文俊猜到的公式推廣到任意維數(shù)的情形。

　　后來的發(fā)展證明，希策布魯赫在這本書中證明的定理以及使用的方法(即由托姆發(fā)展起來的配邊理論)對阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理的最終提出和證明有本質(zhì)性的啟示。
　　托姆于1958年獲得了菲爾茲獎(jiǎng)，希策布魯赫后來獲得了沃爾夫獎(jiǎng)。陳先生獲得了沃爾夫獎(jiǎng)和2004年頒發(fā)的首屆邵逸夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，吳文俊先生獲得了2001年首屆國家最高科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)和2006年的邵逸夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，這些都反映了數(shù)學(xué)界對上述工作的高度贊揚(yáng)。

　　3.指標(biāo)定理研究在中國的萌芽

盡管指標(biāo)定理從一開始就被公認(rèn)為數(shù)學(xué)中的偉大成就，但由于其牽涉面廣，用到的知識多而且深刻，所以要完全弄懂它并不是一件容易的事情。因此雖然國內(nèi)在60年代就影印出版了帕萊斯(Palais)編著的《阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理討論班》(這本書是國際上第一次包含指標(biāo)定理完整證明的正式出版物)，但真正理解指標(biāo)定理的人幾乎沒有。而作為國際微分幾何領(lǐng)袖的陳省身先生，自然知道它的分量。因此，1972年中美關(guān)系解凍后他第一次回國就在中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所以《纖維空間與示性類》為題做學(xué)術(shù)報(bào)告，"描繪了阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理的全貌".陳先生的報(bào)告顯然在數(shù)學(xué)所的青年數(shù)學(xué)家中間產(chǎn)生了影響。例如當(dāng)時(shí)才三十出頭的虞言林就投入到高斯-博內(nèi)特-陳省身公式的研究，寫出了好幾篇頗具匠心的論文。他1983年發(fā)表在《拓?fù)鋵W(xué)(Topology)》雜志上的論文成功地將高斯-博內(nèi)特-陳省身公式推廣到組合流形的情形，是我國大陸數(shù)學(xué)家第一次在這份著名的雜志上發(fā)表論文。

另一方面，陳先生利用他與阿蒂亞的友誼，積極推動在大陸刊印《阿蒂亞論文全集》，并親自撰寫前言，希望此全集"不要成為書架上的擺設(shè)" (此前言的譯文見附錄)。

后來，陳先生接受吳大任和胡國定兩位先生的邀請，回母校南開大學(xué)創(chuàng)立南開數(shù)學(xué)研究所。在籌備1986-1987學(xué)年南開數(shù)學(xué)所的幾何與拓?fù)鋵W(xué)術(shù)年活動時(shí)，陳先生再次強(qiáng)調(diào)要學(xué)習(xí)和研究指標(biāo)定理，并語重心長地指出"即使出不了文章，也要搞阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理".這深深鼓舞了同是籌備委員會成員的虞言林。虞言林后來回憶，陳先生的上述講話"體現(xiàn)了一種期待、一份'偏袒' 、一項(xiàng)號召。這句話對我的文章的完成起了決定性的影響".這里所謂"我的文章"就是指虞言林關(guān)于狄拉克(Dirac )算子的局部指標(biāo)定理的工作。在這個(gè)工作中，虞言林將印度天才數(shù)學(xué)家帕托笛(Patodi)的方法推廣到旋量叢情形，給出了關(guān)于狄拉克算子的阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理的直接的熱方程證明。這是我國大陸數(shù)學(xué)家在改革開放后對指標(biāo)定理所做的第一項(xiàng)堅(jiān)實(shí)的工作，它獨(dú)立于西方同期的工作，可以被認(rèn)為是文化大革命以后中國指標(biāo)定理研究的奠基石。

　　到了1986年南開數(shù)學(xué)所的幾何與拓?fù)鋵W(xué)術(shù)年正式開始時(shí)，虞言林以他的上述工作為基礎(chǔ)，開設(shè)了阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理的課程。這對指標(biāo)定理在國內(nèi)的普及和發(fā)展起了非常巨大的作用。很多年輕的參加者都是第一次接觸到纖維叢、示性類、狄拉克算子、熱核等概念，他們正是通過虞老師的課程，還有其他的類似課程，邁入了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的殿堂。筆者自己有幸在那個(gè)時(shí)候成為虞老師的碩士研究生，跟隨虞老師學(xué)習(xí)指標(biāo)定理，并在虞老師的指導(dǎo)和直接參與下，同當(dāng)時(shí)正在南開數(shù)學(xué)所做博士后的拉法堤(Lafferty)一起，將虞老師的工作推廣到帶群作用的情形。我們?nèi)�人合作的論文后來發(fā)表在《美國數(shù)學(xué)會會刊(Transactions of AMS )》上。

南開新聞網(wǎng) 　 2006-10-28