華羅庚是國(guó)際上享有盛譽(yù)的數(shù)學(xué)家，他的研究領(lǐng)域涉及多元復(fù)變數(shù)函數(shù)、數(shù)論、代數(shù)及應(yīng)用數(shù)學(xué)等，在每一個(gè)領(lǐng)域都取得了杰出的成果，有許多以他的名字命名的定理、引理、不等式、算子與方法，并培養(yǎng)了一批優(yōu)秀的學(xué)生。1956年獲得國(guó)家自然科學(xué)獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)，1990年與王元共獲陳嘉庚物質(zhì)科學(xué)獎(jiǎng)。他被選為美國(guó)科學(xué)院國(guó)外院士、第三世界科學(xué)院院士、聯(lián)邦德國(guó)巴伐利亞科學(xué)院院士，被法國(guó)南錫大學(xué)、香港中文大學(xué)與美國(guó)伊利諾伊大學(xué)授予榮譽(yù)博士學(xué)位。2002年美國(guó)科學(xué)院出版了華羅庚傳。

已故數(shù)學(xué)大師華羅庚院士是中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所的創(chuàng)始人。他關(guān)于典型域上多元復(fù)變數(shù)函數(shù)論的研究，于1956年獲得第一屆國(guó)家自然科學(xué)獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)。

華羅庚1958年在科學(xué)出版社出版了《多復(fù)變函數(shù)論中典型域上的調(diào)和分析》一書(shū)。此書(shū)的初稿完成于1954年，是申請(qǐng)一等獎(jiǎng)的依據(jù)。此書(shū)一出版就引起了國(guó)際上的高度重視。首先是蘇聯(lián)科學(xué)院Steklov數(shù)學(xué)研究所于同年來(lái)函要求將此書(shū)翻譯成俄文出版（但由于蘇聯(lián)人同時(shí)精通中文及數(shù)學(xué)的不多，請(qǐng)華羅庚先譯成英文，再由他們譯成俄文出版）。英文版是1963年從俄文版再翻譯成英文，由美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)出版的。英文版出版后，此書(shū)受到國(guó)際數(shù)學(xué)界的普遍關(guān)注和高度評(píng)價(jià)，成為該領(lǐng)域研究的必然要引用的書(shū)籍。丘成桐教授（菲爾茲獎(jiǎng)、瑞典科學(xué)院卡拉夫獎(jiǎng)、美國(guó)國(guó)家科學(xué)獎(jiǎng)獲得者）說(shuō)，華羅庚這方面的研究成果領(lǐng)先世界十年。

華羅庚對(duì)多元復(fù)變函數(shù)的研究始于40年代抗戰(zhàn)時(shí)期。當(dāng)時(shí)的昆明西南聯(lián)合大學(xué)，條件非常艱苦，華羅庚住在人畜共舍的牛棚樓上。白天日寇飛機(jī)經(jīng)常來(lái)轟炸，空襲時(shí)華羅庚仍在防空洞里看資料。他想把單復(fù)變數(shù)的自守函數(shù)理論推廣到多元復(fù)變函數(shù)。有一次日機(jī)的炸彈將防空洞炸塌，把他和正在看的書(shū)埋在土中，聽(tīng)說(shuō)是段學(xué)復(fù)（現(xiàn)北京大學(xué)教授、中國(guó)科學(xué)院院士）把他和書(shū)從泥土中挖出來(lái)的。這本書(shū)是德文的單復(fù)變數(shù)自守函數(shù)的書(shū)。華羅庚這種臨危不懼、專心研究的精神，實(shí)為后世科學(xué)研究者的楷模。

與此同時(shí)，在大洋彼岸的普林斯頓，有一位因不滿法西斯排猶而離開(kāi)德國(guó)的大數(shù)學(xué)家及天體力學(xué)家西格爾，也想把單復(fù)變數(shù)的自守函數(shù)理論推廣到多復(fù)變數(shù)。由于單復(fù)變數(shù)的自守函數(shù)的主要理論是在單位圓內(nèi)討論，他們不約而同地考慮與單位圓最相近的有界對(duì)稱域上的自守函數(shù)理論。在有界對(duì)稱域上，多復(fù)變數(shù)可用矩陣來(lái)表示，便于構(gòu)造自守函數(shù)的級(jí)數(shù)表達(dá)及其基本域。此外，單復(fù)變數(shù)的自守函數(shù)論與單位圓的非歐幾何密切相關(guān)，所以他們也就不約而同地從研究典型域的幾何開(kāi)始。西格爾這方面的第一篇文章“辛幾何”1943年發(fā)表在《美國(guó)數(shù)學(xué)年刊》，華羅庚的文章“矩陣變數(shù)的自守函數(shù)論”1944年發(fā)表在同一期刊。實(shí)際上，兩人差不多是同時(shí)投稿，但華羅庚的稿件在二戰(zhàn)時(shí)期從昆明寄到美國(guó)要?dú)v經(jīng)幾個(gè)月。西格爾后來(lái)把注意力轉(zhuǎn)向天體力學(xué)，不過(guò)他研究天體力學(xué)的方法是源出于他“辛幾何”的文章。辛幾何是現(xiàn)在國(guó)際上最熱門的幾何研究方向之一。

1997年獲國(guó)家自然科學(xué)一等獎(jiǎng)的已故院士馮康，曾對(duì)筆者說(shuō)，他關(guān)于辛算法的工作與西格爾的天體力學(xué)及華羅庚發(fā)表在《美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)集刊》上的文章“在辛群下超圓的分類”有密切關(guān)系。戰(zhàn)后西格爾回德，受到德國(guó)科學(xué)界的高度尊敬。他在60年代寫(xiě)過(guò)三卷“函數(shù)論”講義，其中引用華羅庚及其學(xué)生的文章有十幾篇之多。

華羅庚戰(zhàn)后去美國(guó)，繼續(xù)研究多復(fù)變函數(shù)。他1946年在美國(guó)《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表的文章“多復(fù)變函數(shù)的自守函數(shù)”成為經(jīng)典著作，為研究自守函數(shù)的名家所必引用。多復(fù)變數(shù)自守函數(shù)理論現(xiàn)已發(fā)展成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)最重要的研究方向之一。解決費(fèi)馬大定理的威爾士，曾在Langland的討論班中獲益匪淺。而Langland就是目前多復(fù)變數(shù)自守函數(shù)的權(quán)威人士，他在普林斯頓高等研究所主持的討論班，一直是圍繞著多變數(shù)的自守形式（自守函數(shù)的推廣）進(jìn)行。此外，華羅庚在上述文章中引進(jìn)了一個(gè)微分度量，現(xiàn)在被稱為華羅庚度量。

華羅庚于1950年毅然回國(guó)，當(dāng)時(shí)才40歲，正值盛年。新中國(guó)成立后的最初十年，是他精力最充沛的十年，主要從事的研究仍然是多復(fù)變函數(shù)。他的主要工作之一就是多復(fù)變數(shù)典型域上的調(diào)和分析。

富氏分析是最早的調(diào)和分析，問(wèn)世以來(lái)在工程與物理領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，數(shù)學(xué)家也進(jìn)行了深入的研究。人們自然會(huì)考慮把富氏分析推廣到多個(gè)變數(shù)，或者把微分方程推廣為算子的情形。在實(shí)際應(yīng)用上也有此需要，例如量子力學(xué)要考慮算子特征值與特征向量。

在華羅庚之前，富氏分析的推廣多是平行推廣，如考慮多個(gè)單位圓周的拓?fù)浞e情形，或抽象地證明某些空間的完備正交歸一系的存在。這對(duì)實(shí)際的應(yīng)用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。如上所述，華羅庚早就認(rèn)識(shí)到單變數(shù)的自守函數(shù)的推廣是典型域上的自守函數(shù)。同樣，他認(rèn)為單位圓上的調(diào)和分析的推廣是典型域上的調(diào)和分析。他用群表示理論具體構(gòu)造了典型域上的絕對(duì)值平方可積全純函數(shù)的一組完備正交歸一函數(shù)系。群表示論與正交系的關(guān)系并非華羅庚首先發(fā)現(xiàn)，但能夠具體地找出非顯然的例子的所有不可約表示并計(jì)算其正交化所需的各種常數(shù)，應(yīng)是始于華羅庚在50年代初期的工作。這使得調(diào)和分析在60年代熱門起來(lái)。

調(diào)和分析領(lǐng)域的權(quán)威、普林斯頓大學(xué)教授斯坦，在一次學(xué)術(shù)會(huì)議上，當(dāng)著華羅庚和他的學(xué)生的面說(shuō)，“我是華的名譽(yù)學(xué)生”。他是使華羅庚成為美國(guó)科學(xué)院外籍院士的推薦人之一。

華羅庚在把一個(gè)表示化為適合所需條件的不可約表示時(shí)，使用了兩個(gè)奇妙的代數(shù)恒等式。他是怎樣想出這兩個(gè)恒等式的，筆者只能驚嘆他是天才。但華羅庚從不認(rèn)為自己是天才，這只好歸于他有敏銳的數(shù)學(xué)直覺(jué)。此外，正交歸一化所需的常數(shù)要用到很多矩陣積分的計(jì)算，他以驚人的技巧把許多復(fù)雜的矩陣積分計(jì)算出來(lái)。這些技巧后來(lái)被理論物理學(xué)家廣為應(yīng)用。

在談到矩陣積分時(shí)，不能不說(shuō)到他引進(jìn)的矩陣極坐標(biāo)。最初他是為了計(jì)算矩陣積分而引進(jìn)的，但后來(lái)發(fā)現(xiàn)體積元素的矩陣極坐標(biāo)的表達(dá)式與李代數(shù)根系的計(jì)算有密切關(guān)系，使后人對(duì)一些根系的計(jì)算變得大為容易。矩陣極坐標(biāo)對(duì)于對(duì)稱空間的幾何研究也十分有用。

華羅庚用典型域的矩陣方法考慮數(shù)學(xué)物理問(wèn)題是鮮為人知的，但筆者有幸知道，他60年代初期在中山大學(xué)講學(xué)的一份講義就是用矩陣的方法來(lái)處理狹義相對(duì)論的。狹義相對(duì)論的未來(lái)光錐就是第四類典型域的特征流形。從華羅庚獲獎(jiǎng)的書(shū)中知道，當(dāng)n = 4時(shí)Bergman核函數(shù)可以寫(xiě)成1 / deg Z的若干次方的形式，是一個(gè)次調(diào)和函數(shù)。他的學(xué)生的學(xué)生周向宇解決“擴(kuò)充未來(lái)光錐管域猜想”的證明中，重要的一步就是要構(gòu)造一個(gè)在擴(kuò)充未來(lái)光錐管域的次調(diào)和函數(shù)，上述函數(shù)就是。這一著如果不是華派的弟子是難以想到的。由于解決這一猜想，俄國(guó)科學(xué)院Steklov數(shù)學(xué)研究所授予周向宇俄國(guó)國(guó)家科學(xué)博士學(xué)位，這是有史以來(lái)中國(guó)人從俄國(guó)獲得的第三個(gè)科學(xué)博士。

在上面提到的講義中，華羅庚還曾用矩陣的方法處理Dirac算子，準(zhǔn)備對(duì)Dirac算子的熱核進(jìn)行研究。我們知道，從70年代到今天，從指標(biāo)定理到Seiberg—Witten方程，都與Dirac算子的研究有關(guān)，對(duì)數(shù)學(xué)與理論物理產(chǎn)生了巨大的影響。華羅庚的思想是超前的。

撰稿人：中國(guó)科學(xué)院院士，數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員 陸啟鏗 

華羅庚考慮典型域上方程△u = -λu的調(diào)和分析，其中△是Laplace—Beltrami算子。這首先要弄清楚λ= 0的情形，此時(shí)u稱為調(diào)和函數(shù)。與通常的情況大不一樣，典型域上的△是一個(gè)變系數(shù)的微分算子（后被稱為華算子）。除了球體的情形外，給定典型域邊界的一部分便有唯一的解，但任意給予整個(gè)邊界值，解不一定存在。這是橢圓微分方程理論的一個(gè)重大發(fā)現(xiàn)。對(duì)于球體的情形，華羅庚也有重要的發(fā)現(xiàn)，就是△u = 0在球內(nèi)是橢圓型，在球外是雙曲型，在球面上是拋物型。這對(duì)混合型微分方程的研究，起了很大的推進(jìn)作用。華羅庚的調(diào)和函數(shù)論不僅適用于典型域，而且適用于非緊的黎曼對(duì)稱空間。這個(gè)理論是系統(tǒng)的、完整的，其成果總結(jié)在1959年《中國(guó)科學(xué)》國(guó)慶十周年特刊“典型域的調(diào)和函數(shù)論”（與陸啟鏗合作）長(zhǎng)篇文章中，但基本的思想在他獲獎(jiǎng)的書(shū)中已經(jīng)提出來(lái)了。此后，國(guó)內(nèi)外不少人繼續(xù)做推廣工作。華羅庚研究多元復(fù)變函數(shù)的方法，有濃厚的中國(guó)特色，在國(guó)外他和他的學(xué)生被稱為華羅庚學(xué)派。

對(duì)于緊致的流形，△u = 0只有常數(shù)解。研究△u = -λu的解，首先要知道特征值λ可能是什么。這也是調(diào)和分析的問(wèn)題，是60年代以后國(guó)際上最熱門的問(wèn)題之一。他的學(xué)生和學(xué)生的學(xué)生在這方面做過(guò)很好的工作。無(wú)怪乎丘成桐教授說(shuō)，華羅庚的工作領(lǐng)先世界十年。