那么吳文俊從歷史中得到什么結(jié)論，受到哪些啟發(fā)呢？

中國(guó)的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)，由求解幾何問(wèn)題以及其它各類問(wèn)題而導(dǎo)致的方程求解，是古算術(shù)發(fā)展的一條主線。幾何問(wèn)題的解決，其答案往往以公式的形式出現(xiàn)。由觀天測(cè)地導(dǎo)致的勾股弦公式、日高公式等等，都是從一些簡(jiǎn)單易明的原理導(dǎo)出的。然而在《四元玉鑒》中己經(jīng)指出，如果引入天元（即未知數(shù)）建立相應(yīng)的方程，通過(guò)解方程即可自然導(dǎo)出這些公式。這提供了一條證明與發(fā)現(xiàn)幾何定理的新路：把非機(jī)械化的定理求證歸結(jié)為機(jī)械化的方程求解。吳文俊明確提出，中國(guó)古代數(shù)學(xué)是一種機(jī)械化數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)機(jī)械化思想是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的精髓。

他進(jìn)一步指出：數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程中，存在公理化思想和數(shù)學(xué)機(jī)械化思想，兩種思想對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)步都做出了重大貢獻(xiàn)，理應(yīng)兼收并蓄�！稁缀卧�本》是公理化思想的代表作，《九章算術(shù)》及《九章注》匯集了東方數(shù)學(xué)的精髓及其大成，是機(jī)械化算法體系的傳世之作。公理化思想的成果以定理表述，而機(jī)械化思想的成果則�？偨Y(jié)為算法（術(shù)）的形式。近代數(shù)學(xué)的偉大發(fā)現(xiàn)，如近世代數(shù)、解析幾何、微積分的建立，無(wú)不閃爍著數(shù)學(xué)機(jī)械化思想的光輝。

解析幾何是近代數(shù)學(xué)發(fā)展的開端。坐標(biāo)概念的建立，是微積分學(xué)的基礎(chǔ)。1637年，笛卡爾（Descartes）關(guān)于幾何學(xué)的著作問(wèn)世，清晰地展現(xiàn)了數(shù)學(xué)機(jī)械化思想。書中建立了一般的（非直角的）坐標(biāo)系，引入了坐標(biāo)的概念，從而實(shí)現(xiàn)了幾何的代數(shù)化。書中沒(méi)有考慮公理化的證明，而把重點(diǎn)轉(zhuǎn)向幾何問(wèn)題的求解。書中把幾何問(wèn)題求解轉(zhuǎn)化為方程求解，應(yīng)用代數(shù)方程求得幾何問(wèn)題的解答，表述為幾何定理。此書是坐標(biāo)幾何的創(chuàng)始之作。解析幾何的創(chuàng)立，是數(shù)學(xué)機(jī)械化思想的產(chǎn)物。

數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)躍進(jìn)在于化難為易。在中國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就中，吳文俊見(jiàn)到了許多實(shí)例，它們實(shí)現(xiàn)了化難為易的偉大創(chuàng)造。

十進(jìn)位位值制，是中華民族的創(chuàng)造，是世界上絕無(wú)僅有的獨(dú)特創(chuàng)造。把0,1,…到9這10個(gè)數(shù)字，因其在前后不同的位置又賦予相應(yīng)的位置值，這樣就可以利用這10個(gè)數(shù)字表示任意大的整數(shù)，同時(shí)使整數(shù)間的計(jì)算變得簡(jiǎn)便易行。這一創(chuàng)造使極為困難的整數(shù)表示和演算，變得這樣簡(jiǎn)易平凡，以至于人們往往忽略它對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展所起的關(guān)鍵作用。十進(jìn)位位值制的創(chuàng)造，化難為易，是人類文明史的光輝一頁(yè)。我國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)，如果能增加一些數(shù)學(xué)史的知識(shí)，講明中華數(shù)學(xué)的偉大創(chuàng)造，讓年輕人都能了解這些創(chuàng)造對(duì)人類文明發(fā)展進(jìn)步發(fā)揮的重大作用，那將是非常有意義的。

從頗費(fèi)腦筋的算術(shù)四則問(wèn)題，通過(guò)建立代數(shù)方程，到按部就班地求解代數(shù)方程，是數(shù)學(xué)發(fā)展史上實(shí)現(xiàn)機(jī)械化、化難為易的光輝范例，是數(shù)學(xué)的一次躍進(jìn)，意義重大。

在解方程的發(fā)展過(guò)程中，天元概念(即未知數(shù))和天元術(shù)(即建立方程)的發(fā)明是一種飛躍。天元概念和天元術(shù)的出現(xiàn)，使方程的建立也成為機(jī)械化的過(guò)程，從此變得輕而易舉。這是機(jī)械化數(shù)學(xué)思想化難為易的又一次體現(xiàn)。在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，其意義之重大是可與位值制的創(chuàng)造相提并論的。這是中華數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)上影響深遠(yuǎn)的又一貢獻(xiàn)。

吳文俊總結(jié)道：是否能化難為易，以及如何才能化難為易，也就是把原來(lái)極為困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題實(shí)現(xiàn)機(jī)械化而變得容易起來(lái)，乃是數(shù)學(xué)機(jī)械化的主題思想，也是它的主要目標(biāo)。

吳文俊因在拓?fù)鋵W(xué)研究中的杰出成就而享譽(yù)國(guó)際數(shù)學(xué)界，在代數(shù)幾何研究中也已取得重大原創(chuàng)性成果。正處于高產(chǎn)豐收之際，他卻毅然決然地暫時(shí)放下這些領(lǐng)域的研究，舉起數(shù)學(xué)機(jī)械化的大旗，滿腔熱情地投入到數(shù)學(xué)機(jī)械化研究。做出這一重大戰(zhàn)略轉(zhuǎn)移，充分反映出他對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)的深刻理解和勇往直前的創(chuàng)新精神。他認(rèn)為，在拓?fù)鋵W(xué)和代數(shù)幾何方面固然還可以做出許多成績(jī)，其意義卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)不及開辟新的數(shù)學(xué)機(jī)械化領(lǐng)域。他當(dāng)然清楚，現(xiàn)時(shí)的數(shù)學(xué)研究，公理化思想居于統(tǒng)治地位，對(duì)機(jī)械化思想沒(méi)有給予應(yīng)有的重視。而數(shù)學(xué)的發(fā)展，應(yīng)該適應(yīng)信息時(shí)代的客觀需求，也要遵循數(shù)學(xué)科學(xué)進(jìn)步的內(nèi)在規(guī)律。中國(guó)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)機(jī)械化思想，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程中做出過(guò)巨大貢獻(xiàn)，也必將對(duì)當(dāng)代數(shù)學(xué)科學(xué)的進(jìn)步發(fā)揮重要作用。

數(shù)學(xué)機(jī)械化思想為數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展提供導(dǎo)向。在信息革命時(shí)代，數(shù)學(xué)將出現(xiàn)什么樣的變化？尤其是，中國(guó)的數(shù)學(xué)將如何進(jìn)步？這是數(shù)學(xué)家們經(jīng)常思考的問(wèn)題。許多數(shù)學(xué)家已經(jīng)覺(jué)察到，現(xiàn)時(shí)的數(shù)學(xué)似乎缺少什么精神，前進(jìn)的動(dòng)力日漸貧弱，以至于出現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展前景的爭(zhēng)論。吳文俊明確提出了自己的答案：開展數(shù)學(xué)機(jī)械化研究，讓數(shù)學(xué)機(jī)械化思想的光芒普照數(shù)學(xué)的各個(gè)角落。已故程民德院士曾經(jīng)指出，吳文俊倡導(dǎo)數(shù)學(xué)機(jī)械化研究，是從戰(zhàn)略的高度為中國(guó)數(shù)學(xué)的發(fā)展提出一種構(gòu)想。實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)機(jī)械化，將為中國(guó)數(shù)學(xué)的振興乃至復(fù)興作出巨大貢獻(xiàn)。

戰(zhàn)略構(gòu)想的實(shí)現(xiàn)，首先要選好突破點(diǎn)。戰(zhàn)略突破口選在哪里？吳文俊想到：西方傳統(tǒng)的幾何定理證明，其形式與機(jī)械化迥然不同。是否可以找到一條道路，使證明也成為機(jī)械化的呢？非�！安粰C(jī)械化”的歐氏幾何，也走幾何代數(shù)化的道路，實(shí)現(xiàn)定理證明的機(jī)械化，使普通人都可證明復(fù)雜、困難的幾何定理。若如此，則是數(shù)學(xué)發(fā)展歷程中的又一件有意義的事。

他考慮得更多更遠(yuǎn)。幾何是由代數(shù)控制的，應(yīng)用不同的代數(shù)工具，會(huì)導(dǎo)致不同類別的幾何，吳文俊深諳個(gè)中道理。他自然想到那些不具有微分運(yùn)算的幾何，如歐氏幾何、非歐幾何、球幾何、投影幾何、仿射幾何、有限幾何、代數(shù)幾何等等。既然走幾何代數(shù)化的道路，這些幾何定理的證明能否也實(shí)現(xiàn)機(jī)械化呢？

上述這些幾何，每種都是一個(gè)成熟的數(shù)學(xué)分支，都包含豐富的內(nèi)容，掌握一門已屬不易�，F(xiàn)在要把它們做為一個(gè)整體來(lái)對(duì)待，統(tǒng)稱為初等幾何，建立一般的機(jī)器證明的理論和方法，其困難程度可想而知，涉足此類問(wèn)題者自然寥寥，是否有前人想過(guò)則不得而知。

如是，實(shí)現(xiàn)初等幾何的定理機(jī)器證明，需要積累廣博的初等幾何的知識(shí)，需要堅(jiān)實(shí)的現(xiàn)代代數(shù)幾何的基礎(chǔ)，還要掌握計(jì)算機(jī)，親自編寫證明程序，親自上機(jī)實(shí)踐，這樣才能獨(dú)樹一幟，別開生面。要掌握和理解這些數(shù)學(xué)知識(shí)已屬不易，更何況開創(chuàng)這些幾何定理的機(jī)器證明的理論和方法，自然是難上加難。而這，恰恰是吳文俊追求的目標(biāo)。

從事數(shù)學(xué)研究是需要能力的。吳文俊先生講過(guò)：人們常說(shuō)學(xué)數(shù)學(xué)的人聰明，依我看，數(shù)學(xué)這個(gè)行當(dāng)是適合笨人來(lái)做的。當(dāng)然，對(duì)于聰明和愚笨要有適當(dāng)?shù)睦斫�。他認(rèn)為自己不屬于聰明者之列，故而要付出超出常人的努力，勤勤懇懇地去練笨功夫。吳文俊在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)所具有的強(qiáng)大攻堅(jiān)能力，正是他勤于下笨功夫的磨煉凝聚而鑄成的。

吳文俊大學(xué)畢業(yè)后到中學(xué)任教。當(dāng)時(shí)上海盛行幾何定理證明。初等幾何以其定理的簡(jiǎn)單直觀而易懂，又以其證明的難以捉摸而具有無(wú)比的魅力，美妙的幾何定理層出不窮，美不勝收。借教書之便，他走遍能進(jìn)入的圖書館，借閱了大量初等幾何的著作，篩去淺顯粗糙者，盡情專讀精品和名著，書中定理自行補(bǔ)證，書中習(xí)題全數(shù)演練，證明了大量艱深的定理。他當(dāng)時(shí)就有用解析幾何的方法，簡(jiǎn)化冗長(zhǎng)繁瑣的定理證明的記錄。數(shù)十年后，當(dāng)他完成初等幾何定理的機(jī)器證明時(shí)，仍能如數(shù)家珍那樣講述許多定理的來(lái)龍去脈、內(nèi)容和意義。對(duì)于幾何定理證明，吳文俊是下過(guò)笨功夫的。

50年代歸國(guó)后，吳文俊繼續(xù)做代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)研究，也曾花力氣研究代數(shù)幾何，直到文革爆發(fā)而中止。他不追趕當(dāng)時(shí)的一些熱門流派，仍然強(qiáng)調(diào)構(gòu)造性的研究。他從代數(shù)幾何的研究對(duì)象出發(fā)，解讀已有的成果，發(fā)現(xiàn)它們間的聯(lián)系，尋找重要的基本概念的構(gòu)造性論述方式，使之改造為易于應(yīng)用的形式。他強(qiáng)調(diào)代數(shù)簇母點(diǎn)這一概念的基本重要性，利用它將自己熟悉的陳省身示性類推廣到具有奇點(diǎn)的情形，這是原有方法所做不到的，是一項(xiàng)重大的學(xué)術(shù)創(chuàng)新。這段經(jīng)歷，為創(chuàng)立幾何定理機(jī)器證明的理論和方法奠定了基礎(chǔ)，創(chuàng)造了條件。對(duì)于代數(shù)幾何，吳文俊也是下過(guò)笨功夫的。

機(jī)器證明的實(shí)現(xiàn)，首先要在理論和方法上有所突破。引入坐標(biāo)系之后，幾何對(duì)象及它們之間的關(guān)系可由多項(xiàng)式表示。幾何定理的假設(shè)可得一組多項(xiàng)式方程（簡(jiǎn)稱為“假設(shè)方程”），結(jié)論也得一多項(xiàng)式方程（簡(jiǎn)稱為“結(jié)論方程”）, 這不難，學(xué)過(guò)解析幾何的人都能做到。證定理是從假設(shè)推導(dǎo)出結(jié)論，這就難了，要發(fā)現(xiàn)一條切實(shí)可行之路，能夠按部就班地證明一類定理，那就更難了。按照通常的理解，所謂由“假設(shè)方程”推導(dǎo)出“結(jié)論方程”，代數(shù)的解釋是，“假設(shè)方程”的每個(gè)解都是“結(jié)論方程”的解；用幾何的語(yǔ)言描述則是，“假設(shè)方程”所定義的零點(diǎn)集包含于“結(jié)論方程”所確定的零點(diǎn)集之內(nèi)。然而問(wèn)題的復(fù)雜超出了人們的想象。吳文俊發(fā)現(xiàn)，并非“假設(shè)方程”的每個(gè)解都是“結(jié)論方程”的解，實(shí)際上，“假設(shè)方程”的解中僅有一部分是“結(jié)論方程”的解，而另一部分卻不是“結(jié)論方程”的解。用什么辦法區(qū)別和界定“假設(shè)方程”解中的兩個(gè)部分，又如何給出合理的幾何解釋，是實(shí)現(xiàn)幾何定理機(jī)器證明必須克服的困難。

幾何對(duì)象之間的關(guān)系相互牽扯，導(dǎo)致不同點(diǎn)的坐標(biāo)在“假設(shè)方程”中前后交錯(cuò)。因此，必須對(duì)“假設(shè)方程”進(jìn)行處理，使之從雜亂無(wú)章變得井然有序，適于機(jī)證定理的需要。代數(shù)幾何的研究經(jīng)歷，使吳文俊熟知多項(xiàng)式代數(shù)運(yùn)算的幾何內(nèi)涵，因而能夠料想有哪些途徑，該如何入手化繁為簡(jiǎn)做到這一步。把預(yù)想變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)，要進(jìn)行艱難的探索，吳文俊再次以他的勤奮下笨功夫，日日夜夜地演算推導(dǎo)，過(guò)程中出現(xiàn)的多項(xiàng)式經(jīng)常有數(shù)百項(xiàng)甚至上千項(xiàng)，一個(gè)多項(xiàng)式需要幾頁(yè)紙才能抄下，稍有疏漏演算則難以繼續(xù)。經(jīng)歷數(shù)月的奮戰(zhàn)，渾然忘我，終于建立了多項(xiàng)式組特征列的概念。以此概念為核心，提出了多項(xiàng)式組的“整序原理”，創(chuàng)立了機(jī)證定理的“吳方法”，首次實(shí)現(xiàn)了高效的幾何定理的機(jī)器證明。

理論和方法的突破，尚需在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行檢驗(yàn)。方向已經(jīng)明確，宏偉的目標(biāo)立即轉(zhuǎn)化為頑強(qiáng)的動(dòng)力。在近耳順之年，吳文俊從零開始學(xué)習(xí)編寫計(jì)算機(jī)程序，親自上機(jī)。70年代末，當(dāng)時(shí)的計(jì)算機(jī)性能是非常初步的。在相當(dāng)困難的條件下，他以極大的熱情再次下笨功夫。簡(jiǎn)單的袖珍計(jì)算器，也變成他心愛(ài)的進(jìn)行定理證明的工具。吳文俊的勤奮是驚人的。80年代中期，系統(tǒng)所購(gòu)置了HP-1000計(jì)算機(jī)。他的工作日程經(jīng)常是這樣安排的：早晨8點(diǎn)不到，他已在機(jī)房外等候開門，進(jìn)入機(jī)房后是近10個(gè)小時(shí)的連續(xù)工作，傍晚回家進(jìn)餐，還要整理計(jì)算結(jié)果，兩個(gè)小時(shí)后又到機(jī)房，工作到深夜或次日凌晨。第二天清晨，又出現(xiàn)在機(jī)房上機(jī)，24小時(shí)連軸轉(zhuǎn)的情況也常有發(fā)生。若干年內(nèi)，他的上機(jī)時(shí)間遙居全所之冠。在近古稀之年，他仍然精力充沛地忘我征戰(zhàn)。當(dāng)時(shí)中關(guān)村到處修路，挖深溝埋設(shè)管道，他經(jīng)常在深夜獨(dú)自一人步行回家，跨溝翻丘，高一腳低一腳，有時(shí)下雨，則要趟著沒(méi)膝深的雨水摸索前行。那是一幅多么感人的情景！幾經(jīng)寒暑，幾度春秋，義無(wú)反顧的拼搏，終于獲得豐碩的成果。

通常證明幾何定理的綜合（演譯）證法，其應(yīng)用范圍是頗為有限的。幾何定理的機(jī)械化證法，開辟了初等幾何獲得實(shí)際應(yīng)用的廣闊道路。

機(jī)證定理的成功，獲得自動(dòng)推理學(xué)界的高度贊揚(yáng)和推崇。而充分理解和認(rèn)識(shí)其在數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展歷程中的深刻影響和重要作用，則尚需時(shí)日。既然從算術(shù)四則問(wèn)題進(jìn)化為代數(shù)方程求解，是數(shù)學(xué)發(fā)展的一次意義重大的躍進(jìn)，那么，實(shí)現(xiàn)初等幾何定理的機(jī)械化證明，化難為易，也是數(shù)學(xué)的實(shí)踐和認(rèn)識(shí)的一次飛躍。

吳文俊分析所取得的成績(jī)時(shí)指出，我們是遵循我國(guó)古代機(jī)械化數(shù)學(xué)的啟示，把幾何代數(shù)化，把非機(jī)械化的幾何定理證明轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式方程的處理，從而實(shí)現(xiàn)了幾何定理的機(jī)器證明。對(duì)于他建立的特征列法，他則認(rèn)為只是給《四元玉鑒》以現(xiàn)代化的處理，使之臻于嚴(yán)密、合于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的要求而已。初等幾何定理的機(jī)器證明是戰(zhàn)略突破點(diǎn)，由此打開局面，再逐步走上更一般更深層的數(shù)學(xué)機(jī)械化之途。數(shù)學(xué)不同分支中許多的問(wèn)題，自然科學(xué)不同領(lǐng)域中很多的問(wèn)題，高新技術(shù)中大量的問(wèn)題，都可轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式方程組求解。機(jī)證定理僅是解方程的一項(xiàng)重要而成功的應(yīng)用，解方程才是數(shù)學(xué)機(jī)械化研究的核心內(nèi)容。

吳文俊身體力行，把求解多項(xiàng)式方程組的特征列法推廣到微分的情形，建立了求解代數(shù)微分多項(xiàng)式方程組的微分特征列法。他本人的研究工作，已將解方程應(yīng)用到許多領(lǐng)域，如線性控制系統(tǒng)、機(jī)械機(jī)構(gòu)綜合設(shè)計(jì)、平面星體運(yùn)行的中心構(gòu)形、化學(xué)反應(yīng)方程的平衡、代數(shù)曲面的光滑拼接、從開普勒定律自動(dòng)推出牛頓定律、全局優(yōu)化求解等等。

吳文俊進(jìn)一步指出，數(shù)學(xué)機(jī)械化思想是一種思維模式，一些數(shù)學(xué)分支正是由于踏上了機(jī)械化的道路而獲得蓬勃發(fā)展并成為重要的研究方向，甚至成為數(shù)學(xué)的主流。他以自己熟悉的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)為例解釋道，龐加萊（Poincare）以解析方程組所定義的幾何圖像作為研究對(duì)象，建立了代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)。稍后又引進(jìn)了復(fù)合形的概念，使某種程度的機(jī)械化考慮得以成立，從此拓?fù)鋵W(xué)得到飛躍發(fā)展，成為當(dāng)代數(shù)學(xué)中最有影響的學(xué)科之一。他還舉例，當(dāng)代最活躍的幾何學(xué)領(lǐng)域，微分幾何與代數(shù)幾何有著直觀的背景，它們最基本的幾何對(duì)象，都是通過(guò)坐標(biāo)與方程來(lái)表達(dá)的，隱含著幾何代數(shù)化的思想。數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，都有自身的發(fā)展模式，有著自己的定理求證和問(wèn)題求解, 如何走上機(jī)械化的道路，有待于各行各業(yè)專門家的努力。

吳文俊先生從事數(shù)學(xué)研究幾十年，成就斐然。在崎嶇的科學(xué)道路上奮勇攀登的征程中，高屋建瓴、科學(xué)的大局觀是重要的，腳踏實(shí)地、勤奮的下笨功夫同樣是重要的，兩者是他獲得成功的重要保證。
（本文大量引用了吳文俊先生的文獻(xiàn)，并未一一注明。）

撰稿人：數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員 石赫