我們常常以自己如何走上數(shù)學(xué)道路的經(jīng)驗(yàn)來判斷是非，那是不全面的。我比較喜歡幾何，這里先談?wù)勚袑W(xué)幾何課程的改革。我常常聽到一些意見，認(rèn)為中學(xué)的幾何必須是一個(gè)公理系統(tǒng)，我不贊成。

中國古代的幾何學(xué)，沒有公理體系，但是有原理，例如出入相補(bǔ)原理等等。中學(xué)幾何課上，講公理不如講原理，例如三角形全等的條件，就是一個(gè)原理。我們選擇若干個(gè)原理，將幾何內(nèi)容串起來，比公理系統(tǒng)要好。一部經(jīng)典力學(xué)，就是從牛頓三大定律（三個(gè)原理）推演出來的，也有人認(rèn)為，從原理出發(fā)不嚴(yán)格，使用公理體系才能做到嚴(yán)密，這是在唬人騙人，中學(xué)幾何課程根本做不到希爾伯特《幾何基礎(chǔ)》那樣的嚴(yán)格性，歐幾里得《幾何原本》里的公理體系也是不嚴(yán)格的，我們沒有必要去追求這種公理系統(tǒng)的嚴(yán)密性。

當(dāng)然，我決不是否認(rèn)邏輯推理的重要性。一旦把幾個(gè)重要的原理確定下來，我們還是要一步步地嚴(yán)格論證，從原理出發(fā)，推出那些幾何學(xué)命題和結(jié)論。另一方面，幾何學(xué)有形象化的好處，幾何會(huì)給人以數(shù)學(xué)直覺。不能把幾何學(xué)等同于邏輯推理。應(yīng)該訓(xùn)練學(xué)生的邏輯推理能力，但也應(yīng)適可而止。只會(huì)推理，缺乏數(shù)學(xué)直覺，是不會(huì)有創(chuàng)造性的。

不論是幾何，還是代數(shù)，都要講“推理”。你在解方程時(shí)，把一個(gè)方程化成另一個(gè)方程，就要講“同解”的道理。使用一種算法解問題，也要論證其合理性。任何數(shù)學(xué)都要講邏輯推理，但這只是問題的一個(gè)方面，更重要的是用數(shù)學(xué)去解決問題，解決日常生活中，其他學(xué)科中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題。學(xué)校里給的數(shù)學(xué)題目都是有答案的，已知什么，求證什么，都是清楚的，題目也一定是做得出的。但是將來到了社會(huì)上，所面對(duì)的問題大多是預(yù)先不知道答案的，甚至不知道是否會(huì)有答案。這就要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，學(xué)會(huì)處理各種實(shí)際數(shù)學(xué)問題的方法，但要做到這一點(diǎn)，光憑邏輯推理是不夠的。

順便說一句，中學(xué)里“對(duì)數(shù)”的地位似乎應(yīng)當(dāng)重新估計(jì)。過去學(xué)對(duì)數(shù)主要是為了查對(duì)數(shù)表以便簡化計(jì)算，現(xiàn)在有了計(jì)算器，對(duì)數(shù)的這一功能已被取代了，至干對(duì)數(shù)函數(shù)，那恐怕還是要的。

大家談到我的研究工作，即數(shù)學(xué)定理的機(jī)械化證明，是否可用于中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革，我也沒有把握。我只是在一個(gè)會(huì)上談了設(shè)想，有些同志覺得可以試試，至于是否可行，現(xiàn)在還不知道。

由干電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，解析幾何的重要性在增加，中學(xué)里結(jié)合解析幾何方法學(xué)習(xí)平面幾何，也許值得作進(jìn)一步研究。不過，我仍回到我剛開始說的一句話，即數(shù)學(xué)教育改革一定要慎重考慮。一定要經(jīng)過試驗(yàn)，而且首先要在教師中進(jìn)行試驗(yàn)。中學(xué)里滲透機(jī)械化證明的思想，也一定要慎重才好。

（注：本文是1993年2月23日，作者在國家教委基礎(chǔ)教育課程教材研究中心召集的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容改革研討會(huì)上的發(fā)言。華東師大張奠宙教授整理。）

（轉(zhuǎn)自臨沂師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院，吳文俊）