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希爾伯特的23個(gè)問(wèn)題分屬四大塊：第1到第6問(wèn)題是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題；第7到第12問(wèn)題是數(shù)論問(wèn)題；第13到第18問(wèn)題屬于代數(shù)和幾何問(wèn)題；第19到第23問(wèn)題屬于數(shù)學(xué)分析。
（1）康托的連續(xù)統(tǒng)基數(shù)問(wèn)題。
1874年，康托猜測(cè)在可數(shù)集基數(shù)和實(shí)數(shù)集基數(shù)之間沒(méi)有別的基數(shù)，即著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。1938年，僑居美國(guó)的奧地利數(shù)理邏輯學(xué)家哥德?tīng)栕C明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF集合論公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性。1963年，美國(guó)數(shù)學(xué)家科思（P.Choen）證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF公理彼此獨(dú)立。因而，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能用ZF公理加以證明。在這個(gè)意義下，問(wèn)題已獲解決。
（2）算術(shù)公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性。
歐氏幾何的無(wú)矛盾性可以歸結(jié)為算術(shù)公理的無(wú)矛盾性。希爾伯特曾提出用形式主義計(jì)劃的證明論方法加以證明，哥德?tīng)?931年發(fā)表不完備性定理作出否定。根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限歸納法證明了算術(shù)公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性。
（3）只根據(jù)合同公理證明等底等高的兩個(gè)四面體有相等之體積是不可能的。
問(wèn)題的意思是：存在兩個(gè)登高等底的四面體，它們不可能分解為有限個(gè)小四面體，使這兩組四面體彼此全等德思（M.Dehn）1900年已解決。
（4）兩點(diǎn)間以直線為距離最短線問(wèn)題。
此問(wèn)題提的一般。滿足此性質(zhì)的幾何很多，因而需要加以某些限制條件。1973年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在對(duì)稱距離情況下，問(wèn)題獲解決。
（5）拓?fù)鋵W(xué)成為李群的條件（拓?fù)淙海?/b>
這一個(gè)問(wèn)題簡(jiǎn)稱連續(xù)群的解析性，即是否每一個(gè)局部歐氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥馬利（Montgomery）、齊賓（Zippin）共同解決。1953年，日本的山邁英彥已得到完全肯定的結(jié)果。
（6）對(duì)數(shù)學(xué)起重要作用的物理學(xué)的公理化。
1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸驅(qū)⒏怕收摴砘�。后�?lái)，在量子力學(xué)、量子場(chǎng)論方面取得成功。但對(duì)物理學(xué)各個(gè)分支能否全盤公理化，很多人有懷疑。
（7）某些數(shù)的超越性的證明。
需證：如果α是代數(shù)數(shù)，β是無(wú)理數(shù)的代數(shù)數(shù)，那么αβ一定是超越數(shù)或至少是無(wú)理數(shù)（例如，2√2和eπ）。蘇聯(lián)的蓋爾封特（Gelfond）1929年、德國(guó)的施奈德（Schneider）及西格爾（Siegel）1935年分別獨(dú)立地證明了其正確性。但超越數(shù)理論還遠(yuǎn)未完成。目前，確定所給的數(shù)是否超越數(shù)，尚無(wú)統(tǒng)一的方法。
（8）素?cái)?shù)分布問(wèn)題，尤其對(duì)黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素共問(wèn)題。 素?cái)?shù)是一個(gè)很古老的研究領(lǐng)域。希爾伯特在此提到黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及孿生素?cái)?shù)問(wèn)題。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿生素?cái)?shù)問(wèn)題目前也未最終解決，其最佳結(jié)果均屬中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)。
（9）一般互反律在任意數(shù)域中的證明。 1921年由日本的高木貞治，1927年由德國(guó)的阿廷（E.Artin）各自給以基本解決。而類域理論至今還在發(fā)展之中。
（10）能否通過(guò)有限步驟來(lái)判定不定方程是否存在有理整數(shù)解？ 求出一個(gè)整數(shù)系數(shù)方程的整數(shù)根，稱為丟番圖（約210-290，古希臘數(shù)學(xué)家）方程可解。1950年前后，美國(guó)數(shù)學(xué)家戴維斯、普特南、羅賓遜等取得關(guān)鍵性突破。1970年，巴克爾、費(fèi)羅斯對(duì)含兩個(gè)未知數(shù)的方程取得肯定結(jié)論。1970年。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬蒂塞維奇最終證明：在一般情況答案是否定的。盡管得出了否定的結(jié)果，卻產(chǎn)生了一系列很有價(jià)值的副產(chǎn)品，其中不少和計(jì)算機(jī)科學(xué)有密切聯(lián)系。
（11）一般代數(shù)數(shù)域內(nèi)的二次型論。 德國(guó)數(shù)學(xué)家哈塞（Hasse）和西格爾（Siegel）在20年代獲重要結(jié)果。60年代，法國(guó)數(shù)學(xué)家魏依（A.Weil）取得了新進(jìn)展。
（12）類域的構(gòu)成問(wèn)題。
即將阿貝爾域上的克羅內(nèi)克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去。此問(wèn)題僅有一些零星結(jié)果，離徹底解決還很遠(yuǎn)。
（13）一般七次代數(shù)方程以二變量連續(xù)函數(shù)之組合求解的不可能性。 七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依賴于3個(gè)參數(shù)a、b、c；x=x(a,b,c)。這一函數(shù)能否用兩變量函數(shù)表示出來(lái)？此問(wèn)題已接近解決。1957年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿諾爾德（Arnold）證明了任一在［0，1］上連續(xù)的實(shí)函數(shù)f(x1，x2，x3)可寫(xiě)成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1--9)，這里hi和ξi為連續(xù)實(shí)函數(shù)�？�?tīng)柲缏宸蜃C明f(x1，x2，x3)可寫(xiě)成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7)這里hi和ξi為連續(xù)實(shí)函數(shù)，ξij的選取可與f完全無(wú)關(guān)。1964年，維土斯金（Vituskin）推廣到連續(xù)可微情形，對(duì)解析函數(shù)情形則未解決。 （14）某些完備函數(shù)系的有限的證明。 即域K上的以x1,x2,…,xn為自變量的多項(xiàng)式fi（i=1,…，m），R為K［X1，…，Xm]上的有理函數(shù)F（X1，…，Xm）構(gòu)成的環(huán)，并且F（f1，…，fm）∈K[x1，…，xm]試問(wèn)R是否可由有限個(gè)元素F1，…，F(xiàn)N的多項(xiàng)式生成？這個(gè)與代數(shù)不變量問(wèn)題有關(guān)的問(wèn)題，日本數(shù)學(xué)家永田雅宜于1959年用漂亮的反例給出了否定的解決。
（15）建立代數(shù)幾何學(xué)的基礎(chǔ)。 荷蘭數(shù)學(xué)家范德瓦爾登1938年至1940年，魏依1950年已解決。
注一舒伯特（Schubert）計(jì)數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ)。 一個(gè)典型的問(wèn)題是：在三維空間中有四條直線，問(wèn)有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個(gè)直觀的解法。希爾伯特要求將問(wèn)題一般化，并給以嚴(yán)格基礎(chǔ)。現(xiàn)在已有了一些可計(jì)算的方法，它和代數(shù)幾何學(xué)有密切的關(guān)系。但嚴(yán)格的基礎(chǔ)至今仍未建立。
（16）代數(shù)曲線和曲面的拓?fù)溲芯俊?/b> 此問(wèn)題前半部涉及代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目。后半部要求討論備dx/dy=Y/X的極限環(huán)的最多個(gè)數(shù)N（n）和相對(duì)位置，其中X、Y是x、y的n次多項(xiàng)式。對(duì)n=2（即二次系統(tǒng)）的情況，1934年福羅獻(xiàn)爾得到N(2)≥1；1952年鮑廷得到N(2)≥3；1955年蘇聯(lián)的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3，這個(gè)曾震動(dòng)一時(shí)的結(jié)果，由于其中的若干引理被否定而成疑問(wèn)。關(guān)于相對(duì)位置，中國(guó)數(shù)學(xué)家董金柱、葉彥謙1957年證明了（E2）不超過(guò)兩串。1957年，中國(guó)數(shù)學(xué)家秦元?jiǎng)缀推迅唤鹁唧w給出了n＝2的方程具有至少3個(gè)成串極限環(huán)的實(shí)例。1978年，中國(guó)的史松齡在秦元?jiǎng)�、華羅庚的指導(dǎo)下，與王明淑分別舉出至少有4個(gè)極限環(huán)的具體例子。1983年，秦元?jiǎng)走M(jìn)一步證明了二次系統(tǒng)最多有4個(gè)極限環(huán)，并且是（1，3）結(jié)構(gòu)，從而最終地解決了二次微分方程的解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，并為研究希爾伯特第（16）問(wèn)題提供了新的途徑。
（17）半正定形式的平方和表示。 實(shí)系數(shù)有理函數(shù)f(x1,…，xn)對(duì)任意數(shù)組（x1，…,xn）都恒大于或等于0，確定f是否都能寫(xiě)成有理函數(shù)的平方和？1927年阿廷已肯定地解決。
（18）用全等多面體構(gòu)造空間。 德國(guó)數(shù)學(xué)家比貝爾巴赫（Bieberbach）1910年，萊因哈特（Reinhart）1928年作出部分解決。
（19）正則變分問(wèn)題的解是否總是解析函數(shù)？ 德國(guó)數(shù)學(xué)家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家彼德羅夫斯基（1939）已解決。
（20）研究一般邊值問(wèn)題。
此問(wèn)題進(jìn)展迅速，己成為一個(gè)很大的數(shù)學(xué)分支。日前還在繼讀發(fā)展。
（21）具有給定奇點(diǎn)和單值群的Fuchs類的線性微分方程解的存在性證明。 此問(wèn)題屬線性常微分方程的大范圍理論。希爾伯特本人于1905年、勒爾（H.Rohrl）于1957年分別得出重要結(jié)果。1970年法國(guó)數(shù)學(xué)家德利涅（Deligne）作出了出色貢獻(xiàn)。
（22）用自守函數(shù)將解析函數(shù)單值化。 此問(wèn)題涉及艱深的黎曼曲面理論，1907年克伯（P.Koebe）對(duì)一個(gè)變量情形已解決而使問(wèn)題的研究獲重要突破。其它方面尚未解決。
（23）發(fā)展變分學(xué)方法的研究。 這不是一個(gè)明確的數(shù)學(xué)問(wèn)題。20世紀(jì)變分法有了很大發(fā)展。
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