七十多年的誤解 

普萊梅依在1908年發(fā)表的論文《具有給定單值群的黎曼型》，對黎曼-希爾伯特問題做出了肯定回答。普萊梅依的途徑是化為積分方程來處理，借助于當(dāng)時(shí)方興未艾的弗雷德霍姆(Fredholm)理論。1913年，美國數(shù)學(xué)家伯克霍夫(G. Birkhoff)又采用某種逼近方法獨(dú)立證明了普萊梅依的結(jié)果，并研究了他自己提出的一系列推廣性問題。1957年，羅爾利用向量叢概念，從代數(shù)幾何的觀點(diǎn)將普萊梅依的結(jié)果推廣到一般的黎曼曲面上去。研究黎曼-希爾伯特問題的代數(shù)幾何途徑在六、七十年代又被德利涅(P. Deligne)大大發(fā)展和完善了。

因此，長期以來，人們一直認(rèn)為希爾伯特第21問題早已被解決了，答案是肯定的。然而，到了1980年代，柯恩(T. Kohn)、阿諾德(V.I. Arnold)等數(shù)學(xué)家開始發(fā)現(xiàn)并指出了普萊梅依的工作存在著缺陷。原來，普萊梅依定理涉及的實(shí)際上并不是真正的富克斯型方程組，而是比富克斯型范圍更寬的所謂“正則”(regular)型方程組。

姍姍來遲的否定解答

1989年，數(shù)學(xué)界傳來了一個(gè)意外的新聞：蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家鮑里布魯克(A.A. Bolibruch)關(guān)于希爾伯特第21問題舉出了反例。這就是說，在普萊梅依的“肯定”結(jié)果發(fā)表七十多年以后，數(shù)學(xué)家們才看到在一般情形中希爾伯特第21問題的解答原來是否定的。

希爾伯特第21問題的解決是富有戲劇性的過程。數(shù)學(xué)是一門精密的科學(xué)，但數(shù)學(xué)家的推理也難保絕對不會(huì)出現(xiàn)疏漏，這種疏漏有時(shí)甚至能逃過最嚴(yán)格的審查。在這方面，希爾伯特第21問題也并非數(shù)學(xué)史上絕無僅有的例子。

著名的四色問題的研究，也發(fā)生過這樣的情況。1879年，英國《自然》（Nature）雜志宣布一位名叫肯泊(A.B. Kempe)的律師證明了四色問題�？喜丛�在劍橋大學(xué)學(xué)過數(shù)學(xué)，著名的數(shù)學(xué)家凱萊(A. Cayley)是他的老師。大概是出于凱萊的建議，肯泊將他證明四色問題的論文投給了由當(dāng)時(shí)另一位大名鼎鼎的數(shù)學(xué)家西爾維斯特（J.J. Sylvester）任主編的《美國數(shù)學(xué)雜志》，并通過審查正式發(fā)表出來。但十一年以后，另一位英國學(xué)者希伍德(P.J. Heawood)卻提出了肯泊的證明有漏洞。當(dāng)然，像普萊梅依關(guān)于黎曼-希爾伯特問題的結(jié)果，時(shí)隔七十余年才被看出破綻，時(shí)間之長，倒還是少見的。

另一方面，在數(shù)學(xué)研究中，概念與方法有時(shí)比最終結(jié)果更為重要。因此，有些數(shù)學(xué)結(jié)果盡管后來被指出有誤，但在解決問題過程中發(fā)展起來的概念與方法，卻依然能夠成為有價(jià)值的數(shù)學(xué)財(cái)富。如上述肯泊關(guān)于四色定理的證明雖有漏洞，但他所提出的所謂“肯泊鏈”的方法，卻一直在地圖著色問題的研究中扮演著重要角色。希爾伯特第21問題的研究，也提供了這樣的例證。普萊梅依的工作雖有缺陷，但對推動(dòng)整個(gè)黎曼-希爾伯特問題的研究以及積分方程理論的發(fā)展，仍是功不可沒。