微積分的發(fā)現(xiàn)是人類精神的最高勝利

在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了，如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績，那正是在這里。——恩格斯

微積分早期的思想基礎(chǔ)

在17世紀，兩位數(shù)學(xué)家伽利略和開普勒的一系列發(fā)現(xiàn),導(dǎo)致了數(shù)學(xué)從古典數(shù)學(xué)向現(xiàn)代數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折。

在25歲以前的伽利略就開始作了一系列實驗，發(fā)現(xiàn)了許多有關(guān)物體在地球引力場運動的基本事實，最基本的就是自由落體定律。 開普勒在1619年前后歸納為著名的行星運動三大定律。這些成就對后來的絕大部份的數(shù)學(xué)分支都產(chǎn)生了巨大影響。伽利略的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了現(xiàn)代動力學(xué)的誕生，開普勒的發(fā)現(xiàn)則產(chǎn)生了現(xiàn)代天體力學(xué)。他們在創(chuàng)立這些學(xué)科的過程中都感到需要一種新的數(shù)學(xué)工具，這就是研究運動與變 化過程的微積分。

有趣的是，積分學(xué)的起源可追溯至古希臘時代，但直到17世紀微分學(xué)才出現(xiàn)重大突破。

積分思想的淵源

求積問題就是求圖形的面積、體積問題。該問題的歷史十分悠久，可以追溯到古代各個文明對一些簡單圖形進行的求面積和體積，比如求三角形、四邊形、圓或球、圓柱、圓錐等等的面積或體積，以及17世紀歐洲人對圓面積、球體積、曲邊三角形、曲邊四邊形等的面積的計算。這些問題直到牛頓和萊布尼茲建立微積分才從根本上得到了解決。求積問題是促使微積分產(chǎn)生的主要因素之一。

在積分思想發(fā)展的過程中，有一批偉大的數(shù)學(xué)家為此做出了杰出的貢獻。古希臘時代偉大的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家阿基米德，我國古代著名數(shù)學(xué)家劉徽，祖沖之父子等為積分思想的形成和發(fā)展做出了重要的貢獻。

16，17世紀是微積分思想發(fā)展最為活躍的時期，其杰出的代表有意大利天文學(xué)家、力學(xué)家伽利
略和德國天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家開普勒，卡瓦列里等。他們的工作為牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立微積分理論奠定了基礎(chǔ)。

微分學(xué)思想的起源

微分學(xué)主要來源于兩個問題的研究，一個是作曲線切線的問題，一個是求函數(shù)最大、最小值的問題。這兩個問題在古希臘曾經(jīng)考慮過，但古希臘對這兩個問題的討論遠不及對面積、體積、弧長問題討論得那么廣泛和深入。

在這兩個問題的研究上作出先驅(qū)工作的是費馬。費馬在1629年給出了求函數(shù)極大、極小值的方法。不過這個思想直至八、九年后才較多地為人所知。

開普勒已經(jīng)觀察到，一個函數(shù)的增量通常在函數(shù)的極大、極小值處變得無限地小。費馬利用這一
事實找到了求函數(shù)極大、極小值的方法。它的根是使函數(shù)取極小值的。費馬還創(chuàng)造了求曲線切線的方法。這些方法的實質(zhì)都是求導(dǎo)數(shù)的方法。曲線的切線問題和函數(shù)的極大、極小值問題都是微分學(xué)的基本問題。正是這兩個問題的研究促進了微分學(xué)的誕生。費馬在這兩個問題上都作出了重要貢獻，被稱為微積分學(xué)的先驅(qū)。

費馬處理這兩個問題的方法是一致的，都是先取增量，而后讓增量趨]向于零。而這正是微分學(xué)的實質(zhì)所在，也正是這種方法不同于古典方法的實質(zhì)所在。

費馬還曾討論過曲線下面積的求法。這是積分學(xué)的前期工作。他把曲線下的面積分割為小的面積元素，利用矩形和曲線的解析方程，求出這些和的近似值，以及在元素個數(shù)無限增加，而每個元素面積無限小時,將表達式表示為和式極限的方式。但是，他沒有認識到所進行的運算本身的重要意義，而是將運算停留在求面積問題本身，只是回答一個具體的幾何問題。

只有牛頓和萊布尼茲才把這一問題上升到一般概念，認為這是一種不依賴于任何幾何的或物理的結(jié)構(gòu)性運算，并給予特別的名稱－微積分。

在創(chuàng)立這些學(xué)科的過程中，他們都感到一種新的數(shù)學(xué)工具的需要，這就是研究運動與變化 過程的微積分。有趣的是，積分學(xué)的起源可追溯至古希臘時代，但直到17世紀微分學(xué)才出現(xiàn)重大突破。

費馬還創(chuàng)造了求曲線切線的方法。這些方法的實質(zhì)都是求導(dǎo)數(shù)的方法。曲線的切線問題和函數(shù)的極大、極小值問題都是微分學(xué)的基本問題。正是這兩個問題的研究促進了微分學(xué)的誕生。費馬在這兩個問題上都作出了重要貢獻，被稱為微積分學(xué)的先驅(qū)。

費馬處理這兩個問題的方法是一致的，都是先取增量，而后讓增量趨向于零。而這正是微分學(xué)的實質(zhì)所在，也正是這種方法不同于古典方法的實質(zhì)所在。費馬還討論過曲線下面積的求法。這是積分學(xué)的前期工作。他把曲線下的面積分割為小的面積元素，利用矩形和曲線的解析方程，求出這些和的近似值，以及在元素個數(shù)無限增加，而每個元素面積無限小時,將表達式表示為和式極限的方式。但是，他沒有認識到所進行的運算本身的重要意義，而是將運算停留在求面積問題本身，只是回答一個具體的幾何問題。只有牛頓和萊布尼茲才把這一問題上升到一般概念，認為這是一種不依賴于任何幾何的或物理的結(jié)構(gòu)性運算，并給予特別的名稱－微積分。

微積分的創(chuàng)立

十七世紀是從中世紀向新時代過渡的時期。這一時期，科學(xué)技術(shù)獲得了巨大的發(fā)展。精密科學(xué)從當(dāng)時的生產(chǎn)與社會生活中獲得巨大動力；航海學(xué)引起了對天文學(xué)及光學(xué)的高度興趣；造船學(xué)，機器制造與建筑，堤壩及運河的修建，彈道學(xué)及一般的軍事問題等等，促進了力學(xué)的發(fā)展。

在這些學(xué)科的發(fā)展和實際生產(chǎn)中，迫切需要處理下面四類問題：

1. 已知物體運動的路程和時間的關(guān)系，求物體在任意時刻的速度和加速度。反過來已知物體的加速度與速度，求物體在任意時刻的速度與經(jīng)過的路程。

計算平均速度可用運動的路程除以運動的時間，但是17世紀所涉及的速度和加速度每時每刻都在變化，對于瞬時速度，運動的距離和時間都是0，這就碰到了0/0的問題。人類第一次碰到這樣的問題 。 

2. 求曲線的切線。這是一個純幾何的問題，但對于科學(xué)應(yīng)用具有重大意義。例如在光學(xué)中，透鏡的設(shè)計就用到曲線的切線和法線的知識。在運動學(xué)問題中也運到曲線的切線問題，運動物體在它的軌跡上任一點處的運動方向，是軌跡的切線方向。

3. 求函數(shù)的最大值和最小值問題。在彈道學(xué)中這涉及到炮彈的射程問題，在天文學(xué)中涉及到行星和太陽的最近和最遠距離。

4. 求積問題。求曲線的弧長，曲線所圍區(qū)域的面積，曲面所圍的體積，物體的重心。這些問題從古希臘開始研究，其中的某些計算，在現(xiàn)在看來只是微積分的簡單練習(xí)，而過去曾經(jīng)使希臘人大為頭痛。事實上，阿基米德所寫的著作幾乎都是在討論這類問題，而他的結(jié)果就標志著希臘數(shù)學(xué)的高潮。

正是科學(xué)和生產(chǎn)中面臨的這些重要問題，促進了微積分的誕生與發(fā)展。

在微積分誕生和發(fā)展時期，一批偉大的數(shù)學(xué)家做出了杰出的貢獻，例如，數(shù)學(xué)家伽利略，開普勒，卡瓦列里，費馬，巴羅，牛頓，萊布尼茲等等。

科學(xué)的重大進展總是建立在許多人一點一滴工作之上，但是，常常需要有一個人完成“最后的一步”，這個人需要具有敏銳的洞察力，從紛亂的猜測和說明中整理出前人有價值的思想，需要有足夠想象力，把這些孤立的“碎片”組織起來，并且能夠大膽地制定一個宏偉的體系。在微積分誕生過程中，牛頓和萊布尼茲就是完成這一使命的巨人。

在微積分誕生之后的18世紀，數(shù)學(xué)迎來一次空前的繁榮，人們將這個時代稱為數(shù)學(xué)史上的英雄世紀。這個時期的數(shù)學(xué)家們的主要工作就是把微積分應(yīng)用于天文學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、熱學(xué)等各個領(lǐng)域，并獲得了豐碩的成果。

1661年，牛頓進入劍橋大學(xué)三一學(xué)院，受教于巴羅，同時鉆研伽利略、開普勒、笛卡兒和沃利斯等人的著作。三一學(xué)院至今還保存著牛頓的讀書筆記，從這些筆記可以看出，就數(shù)學(xué)思想的形成而言，笛卡兒的《幾何學(xué)》和沃利斯的《無窮算數(shù)》對他影響最深，正是這兩部著作引導(dǎo)牛頓走上了創(chuàng)立微積分的道路。

1665年8月回到了家鄉(xiāng)，在那里開始了他在機械、數(shù)學(xué)和光學(xué)上的偉大工作，這兩年成為牛頓科學(xué)生涯中的黃金歲月，創(chuàng)立了微積分，發(fā)現(xiàn)了萬有引力和顏色理論，……，可以說牛頓一生大多數(shù)科學(xué)創(chuàng)造的藍圖，都是在這兩年構(gòu)思的。

微積分的創(chuàng)建

1664年秋，牛頓開始研究微積分問題。當(dāng)時，他反復(fù)閱讀笛卡兒《幾何學(xué)》，對笛卡兒求切線的“圓法”產(chǎn)生了濃厚的興趣，并試圖尋找更好的方法。就在此時，牛頓首創(chuàng)了小o記號，用它表示x的增量，它是一個趨于零的無窮小量。

牛頓在家鄉(xiāng)躲避瘟疫期間，繼續(xù)探討微積分并取得了突破性進展。據(jù)他自述，1665年11月發(fā)明“正流數(shù)術(shù)”（微分法），次年5月又建立了“反流數(shù)術(shù)”（積分法）。1666年10月，牛頓將前兩年的研究成果整理成一篇總結(jié)性論文，現(xiàn)在稱為《流數(shù)簡論》。當(dāng)時雖未正式發(fā)表，但在同事中傳閱�！读鲾�(shù)簡論》是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻。

《流數(shù)簡論》反映了牛頓微積分的運動學(xué)背景。該文事實上以速度形式引進了“流數(shù)”（即微商）的概念，雖然沒有使用“流數(shù)”這一基本術(shù)語，但在其中提出了微積分的基本問題，用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言可以表述如下：

1）已知物體的路程，求物體運動速度的問題。

2）已知物體運動的速度，求物體路程的問題。

牛頓指出，第一個問題是微分的問題，第二個問題的第一個問題的逆運算，并給出了相應(yīng)的計算方法。在此基礎(chǔ)上，建立了的“微積分基本定理”，它揭示了“導(dǎo)數(shù)和積分之間的內(nèi)在聯(lián)系”。當(dāng)然，對微積分基本定理，并沒有給出現(xiàn)代意義下的嚴格證明。在后來的著作中，對微積分基本定理，牛頓又給出了不依賴于運動學(xué)的較為清楚的證明。

在牛頓以前，面積總是被看成是無限小不可分量之和，牛頓則從確定面積變化率入手，通過反微分計算面積。這樣，牛頓不僅揭示了面積計算與求切線問題的互逆關(guān)系，并且十分明確地把它作為一般規(guī)律揭示出來，從而建立了微積分普遍算法的基礎(chǔ)。

正如牛頓本人在《流數(shù)簡論》中所說：一旦反微分問題可解，許多問題都將迎刃而解。

自古希臘以來，人們得到了許多求解無限小問題的各種特殊技巧，牛頓將這些特殊技巧統(tǒng)一為兩類普遍的算法——正、反流數(shù)術(shù)，即微分與積分，并證明了二者的互逆關(guān)系，進而，他將這兩類運算統(tǒng)一成一個整體——微積分基本定理。

這是他超越前人的功績，正是在這樣的意義下，我們說牛頓發(fā)明了微積分。在《流數(shù)簡論》的其余部分，牛頓討論了求曲線切線、曲率、拐點，求曲線長度、求曲線圍成的面積，求引力與引力中心等16類問題。對這些問題的討論，牛頓都是運用他建立的統(tǒng)一的算法來處理的，所有這些充分顯示了牛頓創(chuàng)建的“微積分”算法的極大普遍性與系統(tǒng)性。

從1667年起到1693年牛頓用了大約四分之一世紀的時間，從事微積分方面研究。牛頓始終不渝努力改進、完善自己的微積分學(xué)說，先后寫成了三篇微積分論文：
（1）1669年完成了《運用無限多項方程的分析》，簡稱《分析學(xué)》；
（2）1671年完成了《流數(shù)法與無窮級數(shù)》，簡稱《流數(shù)法》；
（3）1691年完成了《曲線求積術(shù)》，簡稱《求積術(shù)》。

牛頓對于發(fā)表自己的科學(xué)著作態(tài)度謹慎，他的大多數(shù)著作都是經(jīng)朋友再三催促才拿出來發(fā)表。上述三篇論文發(fā)表都很晚，其中最先發(fā)表的是最后一篇《曲線求積術(shù)》；《分析學(xué)》發(fā)表于1771年；而《流數(shù)法》則遲至1736年才正式發(fā)表，當(dāng)時牛頓已去世。

1687年，牛頓出版了他的力學(xué)名著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，簡稱《原理》，在《原理》中，最早表述牛頓創(chuàng)立的微積分學(xué)說，因此，《原理》也成為數(shù)學(xué)史上的劃時代著作。

《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》的扉頁

《原理》被愛因斯坦盛贊為“無比輝煌的演繹成就”。全書從三條基本的力學(xué)定律出發(fā)，運用微積分工具，嚴格地推導(dǎo)證明了包括開普勒行星運動三大定律、萬有引力定律等在內(nèi)的一系列結(jié)論，并且還將微積分應(yīng)用于流體運動、聲、光、潮汐、彗星乃至宇宙體系，充分顯示了這一數(shù)學(xué)工具的威力。

牛頓的科學(xué)貢獻是多方面的。在數(shù)學(xué)上，除了微積分，他的代數(shù)名著《普遍算術(shù)》，包含了方程論的許多成果，如虛數(shù)根成對出現(xiàn)、笛卡兒符號法則的推廣、根與系數(shù)的冪和公式等等；他的幾何杰作《三次曲線枚舉》，首創(chuàng)對三次曲線的分類研究，這是解析幾何發(fā)展一個新的高峰；在數(shù)值分析領(lǐng)域，今天任何一本教程都不能不提牛頓的名字。

牛頓的歷史功績

牛頓是一位科學(xué)巨人，是人類歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一。與牛頓一樣，為數(shù)學(xué)做出杰出貢獻的數(shù)學(xué)家萊布尼茲評價道：“從世界開始到牛頓生活的年代的全部數(shù)學(xué)中，牛頓的工作超過了一半。”

萊布尼茲與微積分的誕生

1646年6月21日戈特弗里德·威廉·萊布尼茲出生在德國萊比錫。1661年他入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律 ，又曾到耶拿大學(xué)學(xué)習(xí)幾何，1666年取得法學(xué)博士學(xué)位。1672年他出差到巴黎，受到C. 惠更斯的啟發(fā) ，決心鉆研數(shù)學(xué)。在這之后，他邁入數(shù)學(xué)領(lǐng)域，開始創(chuàng)造性的工作。這種努力導(dǎo)致了許多數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)，最突出的是微積分學(xué)說。牛頓創(chuàng)立微積分主要是從運動學(xué)的觀點出發(fā)，而萊布尼茲則從幾何學(xué)的角度去考慮。

從1684年起，萊布尼茲發(fā)表了很多微積分論文。這一年，他的第一篇微分學(xué)文章《一種求極大值極小值和切線的新方法》發(fā)表，這是世界上最早公開發(fā)表的關(guān)于微分學(xué)的文獻。在這篇論文中，他簡明地解釋了他的微分學(xué)。文中給出微分的定義和基本的微分法則。

1686年他在《學(xué)藝》雜志上發(fā)表第一篇積分學(xué)論文。萊布尼茲精細設(shè)計了一套令人滿意的微積分符號。他在1675年引入了現(xiàn)代的積分符號∫，用拉丁字Summa（求和）的第一個字母S拉長了表示積分。但是“積分”的名稱出現(xiàn)得比較遲，它是由J. 伯努利于1696年提出的。

萊布尼茲是數(shù)學(xué)史上最偉大的符號學(xué)者。他在創(chuàng)造微積分的過程中，花了很多時間去選擇精巧的符號。他認識到，好的符號可以精確、深刻地表達概念、方法和邏輯關(guān)系。他曾說：“要發(fā)明就得挑選恰當(dāng)?shù)姆�號。要做到這一點，就要用含義簡明的少量符號來表達或比較忠實地描繪事物的內(nèi)在的本質(zhì) ，從而最大限度地減少人的思維勞動�！� 現(xiàn)在微積分學(xué)的符號基本都是由他創(chuàng)造的。這些優(yōu)越的符號為以后分析學(xué)的發(fā)展帶來了極大的方便。

萊布尼茲發(fā)明了一些其他符號和數(shù)學(xué)名詞，例如“函數(shù)”（function）和“坐標”（coordinate）等。萊布尼茲多才多藝，在歷史上無人可以匹敵。