楊武之的父親楊邦盛，是清末的一名秀才，早年一直在私塾教書。后來去天津，在段芝貴的幕府中司“筆札”，做類似文書之類的事。１９０７年，因段芝貴失勢，回家賦閑。次年，想到沈陽去謀職，不幸在旅社中染上鼠疫，竟而去世。楊武之的母親姓王，在他９歲時（１９０５）也早故。所以，楊邦盛夫婦對楊武之的照料不多，生活多由叔父楊邦瑞安排。
１９１４年，楊武之在安徽省立第二中學(xué)畢業(yè)。這是一所很好的學(xué)校，為楊武之打下了良好的文化基礎(chǔ)。是年秋，考入北京高等師范學(xué)校預(yù)科，為期一年，后入數(shù)理部本科。規(guī)定修業(yè)３年，于１９１８年畢業(yè)。這一學(xué)歷，在當(dāng)時的師范教育中屬于最高的層次，各地爭相聘用。最后，楊武之決心回到母校——安徽省立二中擔(dān)任教員兼舍監(jiān)（訓(xùn)育主任）。年少氣盛的楊武之，在學(xué)校里施行嚴(yán)格的紀(jì)律，對一批紈绔子弟嚴(yán)加管束。學(xué)校規(guī)定，夜晚１０時，關(guān)閉校門，使一批在外尋歡作樂而遲歸的學(xué)生，不得其門而入。由此，一些不思上進(jìn)的學(xué)生，對舍監(jiān)楊武之大為不滿，以至尋釁鬧事，準(zhǔn)備動武報(bào)復(fù)。鬧事之后，因?qū)W生家長袒護(hù)鬧事學(xué)生，希圖不了了之。楊武之遂憤而辭職，轉(zhuǎn)往安慶中學(xué)教書。這一事件對他刺激頗深，覺得一介書生，難以和腐敗的政府及土豪劣紳相周旋。
楊武之因此萌生“科學(xué)救國”的意念，希望以出國留學(xué)，振興中華科學(xué)，發(fā)揚(yáng)中華文明來改變中國的黑暗現(xiàn)實(shí)。在安慶教書期間，積極準(zhǔn)備參加留學(xué)考試。
楊武之由父母作主，在幼年時即和同鄉(xiāng)羅竹全之女羅孟華訂親，并于１９１９年完婚。羅孟華的文化不高，一直操持家務(wù)。他們夫婦之間感情甚篤，終身不渝。１９２２年，長子楊振寧出生。楊武之的備考也到了緊張階段。
１９２３年春，楊武之順利地通過安徽省的公費(fèi)出國留學(xué)考試。隨即離別妻子和未滿周歲的兒子，只身赴美國留學(xué)。他先到美國西部的斯坦福大學(xué)讀了三個學(xué)季的大學(xué)課程，取得學(xué)士學(xué)位。然后于１９２４年秋天轉(zhuǎn)往芝加哥大學(xué)繼續(xù)攻讀。當(dāng)時的芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)系已臻美國第一流水平，楊武之師從名家Ｌ．Ｅ．迪克森（Ｄｉｃｋｓｏｎ），研究代數(shù)學(xué)和數(shù)論。１９２６年以《雙線性型的不變量》一文獲得碩士學(xué)位。兩年之后，又以《華林問題的各種推廣》，使楊武之成為中國因數(shù)論研究而成為博士的第一人。
１９２８年秋，楊武之學(xué)成歸國，先在廈門大學(xué)任教一年，次年即被清華大學(xué)聘為數(shù)學(xué)系教授。此后，楊武之一直在清華大學(xué)（包括抗戰(zhàn)時期的西南聯(lián)合大學(xué)）任教，直到解放。１９５０年之后，留在上海復(fù)旦大學(xué)任數(shù)學(xué)教授。１９７３年５月１２日，在上海逝世。
博士論文：推進(jìn)“棱錐數(shù)的華林問題”
楊武之的主要學(xué)術(shù)貢獻(xiàn)是數(shù)論研究，尤其以華林（Ｗａｒｉｎｇ）問題的工作著稱。
中國的數(shù)論研究淵遠(yuǎn)流長。孫子定理，中國剩余定理，秦九韶的不定方程理論，都是享譽(yù)世界的名篇。但到明清之際，數(shù)論研究已遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于歐洲，到本世紀(jì)２０年代，能研究現(xiàn)代的數(shù)論而發(fā)表創(chuàng)造性論文的中國人，當(dāng)以楊武之為第一人。
所謂華林問題，是指下列猜想：每個正整數(shù)都是４個平方數(shù)之和，９個立方數(shù)之和，一般地，ｇ（ｋ）個ｋ次方數(shù)之和。
１７７０年，Ｊ．－Ｌ．拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）證明了每個正整數(shù)確實(shí)是４個平方數(shù)之和，即ｇ（２）＝４。
１９０９年，大數(shù)學(xué)家Ｄ．希爾伯特（Ｈｉｌｂｅｒｔ）證明：ｇ（ｋ）必是有限數(shù)。
１９２８年，楊武之的導(dǎo)師狄克遜證得：ｇ（３）＝９。另外，Ｓ．Ｗ．貝爾（Ｂａｅｒ）證明，凡大于２３×１０１４的整數(shù)是８個立方數(shù)之和。于是狄克遜要楊武之考慮帶系數(shù)的華林問題，即每個正整數(shù)ｆ可否表示為ｆ＝ｒｘ３十Ｃ７，其中Ｃ７＝ｘ３１十ｘ３２十…十ｘ３７，ｒ＝０，１，２，…，８．楊武之很快得到下述結(jié)果：
１．凡是大于１４．１×４０１６的正整數(shù)都可表示為ｒｘ３十Ｃ７，其中ｒ＝５，７。
２．凡大于（３０．１）×４１９６的正整數(shù)都可表示為３ｘ３十Ｃ７。
３．凡大于２３×１０１４的正整數(shù)都可表為８×ｃ３十Ｃ７。
�。矗泊笥冢玻场粒保埃保吹钠嬲麛�(shù)都可表示為ｒx３十Ｃ７，其中ｒ＝２，４，６。
�。担泊笥冢玻场粒保埃保吹钠嬲麛�(shù)的兩倍，都可表為２ｘ３十７。
楊武之的博士論文還討論了帶系數(shù)的７次方數(shù)的表示等問題。
楊武之最好的工作是關(guān)于棱錐數(shù)的華林問題。棱錐數(shù)ｐ（ｎ）＝１／６（ｎ３－ｎ）是三角形數(shù)ｆ（ｎ）＝ｎ／２（ｎ十１）的推廣。１６４０年，費(fèi)馬猜測每個正整數(shù)都是不超過３個三角形數(shù)之和。后來證明這是對的。至于每個正整數(shù)能表示為幾個棱錐數(shù)之和，也陸續(xù)有人研究。
１８９６年，Ｗ．Ｊ．馬耶（Ｍａｉｌｌｅｔ）首先得到，每個充分大的正整數(shù)是１２個棱錐數(shù)之和。
１９２８年，楊武之在博士論文里證明：每個正整數(shù)都可寫成９個棱錐數(shù)之和。此結(jié)果在２０余年內(nèi)沒有改進(jìn)，直至Ｇ．Ｎ．沃森（Ｗａｔｓｏｎ）在１９５２年將“９個”減為“８個”。到１９９１年為止，這仍是已證明了的最好結(jié)果。
電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之后，許多人曾作過實(shí)際驗(yàn)算，認(rèn)為除２４１個例外數(shù)之外，小于１０６的正整數(shù)都是５個棱錐數(shù)之和。１９９１年，楊振寧和鄧越凡等人的計(jì)算表明，凡小于１０９的正整數(shù)，除了１７，２７，…，３４３８６７等２４１個例外數(shù)之外，都是４個棱錐數(shù)之和。他們猜想，除這２４１個數(shù)之外，表示任何正整數(shù)，只要４個棱錐數(shù)就夠了。
楊武之的這篇博士論文，首先在美國數(shù)學(xué)會的會議上作了介紹（１９２８年４月６日）。同年美國數(shù)學(xué)會通報(bào)第３４卷，第４１２頁上曾對此作了報(bào)道。以后全文發(fā)表于１９３１年的《清華理科報(bào)告》。
大學(xué)數(shù)學(xué)教育的先驅(qū)
楊武之一生從事數(shù)學(xué)教育，特別是在清華大學(xué)和西南聯(lián)合大學(xué)執(zhí)教并主持系務(wù)時期，培養(yǎng)和造就了兩代數(shù)學(xué)人才，對中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)很大。
１９２８年，清華留美預(yù)備學(xué)校改制為清華大學(xué)。鄭之蕃、熊慶來先期來清華大學(xué)任教。１９２８年和１９２９年，孫光遠(yuǎn)與楊武之亦先后到校。這４位教授，加上唐培經(jīng)、周鴻經(jīng)兩位教員，陣容極一時之盛。１９３０年，陳省身跟孫光遠(yuǎn)學(xué)幾何。
次年，華羅庚又來校跟楊武之研習(xí)數(shù)論。隨后的學(xué)生又有許寶騄、柯召等人的到來。３０年代的上半期，清華大學(xué)已成為國內(nèi)最強(qiáng)的數(shù)學(xué)中心。
楊武之在清華大學(xué)講授過很多代數(shù)課程，特別是３０年代初開設(shè)的群論課，影響了大批的后學(xué)者。
抗戰(zhàn)以后，清華大學(xué)與北京大學(xué)、南開大學(xué)并為西南聯(lián)合大學(xué)。楊武之又擔(dān)任數(shù)學(xué)系的系主任，以及清華大學(xué)數(shù)學(xué)研究生部的主任。戰(zhàn)時的生活十分艱苦，但是西南聯(lián)合大學(xué)數(shù)學(xué)系的學(xué)術(shù)生活并不貧乏，科學(xué)水平節(jié)節(jié)上升，這和楊武之的組織與領(lǐng)導(dǎo)是分不開的。
楊武之與華羅庚
華羅庚自學(xué)成才，踏進(jìn)清華園的傳奇故事已是盡人皆知，但是究竟清華園內(nèi)的數(shù)學(xué)圈內(nèi)怎樣發(fā)現(xiàn)華羅庚的細(xì)節(jié)，現(xiàn)在已很難查考。應(yīng)該說，唐培經(jīng)、楊武之，熊慶來等先生都為華羅庚來清華大學(xué)作出過努力，而系主任熊慶來的支持，則是關(guān)鍵的一著。
華羅庚來到清華大學(xué)以后，選擇數(shù)論為研究方向，而且集中研究華林問題，顯然是受到楊武之的直接影響。華羅庚在1980年寫給香港《廣角鏡》周刊的一封信說：“引我走上數(shù)論道路的是楊武之教授�！�
華羅庚于１９３６年赴英國，追隨Ｇ．Ｈ．哈代（Ｈａｒｄｙ）學(xué)習(xí)解析數(shù)論，成績卓著。楊武之為自己的學(xué)生超過自己而高興非凡。１９３８年華羅庚回國后到西南聯(lián)合大學(xué)任教。當(dāng)時擔(dān)任系主任的楊武之，不顧學(xué)校里的各種反對意見，向校方提出破格提升華羅庚的職務(wù)，即越過講師、副教授直升正教授。
起初校方以華羅庚未在英國拿博士學(xué)位而拒絕，后經(jīng)楊武之力爭，最終才得到同意。所以，華羅庚在上述給《廣角鏡》的信中也寫道：“從英國回國，未經(jīng)講師、副教授，直接提我為正教授的又是楊武之教授�！�
在西南聯(lián)合大學(xué)時期，楊武之和華羅庚曾同住于昆明西北郊的大塘子村。兩家過往很密。當(dāng)年，華羅庚曾有一信給楊武之，內(nèi)稱：“古人云：生我者父母，知我者鮑叔。我之鮑叔即楊師也�！�
楊武之所師法的迪克森學(xué)派，在本世紀(jì)初的美國影響很大。后來由于英國、蘇聯(lián)等國的解析數(shù)論的興起而漸漸式微。所以，楊武之的數(shù)論研究雖曾起過啟蒙和推動的作用，可惜由于迪克森學(xué)派的衰落而未能發(fā)揮重大影響。
中國數(shù)論學(xué)派，在華羅庚的領(lǐng)導(dǎo)下，獲得了重大的發(fā)展。飲水思源，人們將會緬懷楊武之在早期所發(fā)揮的前驅(qū)作用。
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