解析數(shù)論在中國

王元

摘要

本文綜述了解析數(shù)論近70年來在中國的發(fā)展以及中國數(shù)學(xué)家在這一領(lǐng)域的重要貢獻(xiàn)， 特別是華羅庚及陳景潤的重大成就。

1、回顧

中國解析數(shù)論研究的創(chuàng)始人是華羅庚，他生于1910年，江蘇金壇人，由于家貧，初中畢業(yè)后，僅念完一年職業(yè)學(xué)校，即輟學(xué)在家。他發(fā)奮自學(xué)數(shù)學(xué)，并能在上�！犊茖W(xué)》雜志上發(fā)表一些初等數(shù)學(xué)文章，從而引起了熊慶來、楊武之等注意。1931年，清華大學(xué)算學(xué)系主任熊慶來邀華羅庚來清華工作，任系助理員。在楊武之的指導(dǎo)下，華羅庚走上了研究數(shù)論之路。

1936年， 清華大學(xué)以訪問學(xué)者名義，送華羅庚去英國劍橋大學(xué)深造，師從哈代（G. H. Hardy）。在與同輩互相研討下，華羅庚在解析數(shù)論方面取得了突出成就。

由于抗日戰(zhàn)爭爆發(fā)，華羅庚于年回國，在昆明任西南聯(lián)合大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，在華羅庚的領(lǐng)導(dǎo)下，閡嗣鶴與鐘開菜跟他一起研究解析數(shù)論。（后來，鐘開萊改習(xí)了概率論）1946年，華羅庚去美國工作。

中華人民共和國剛成立，華羅庚即于1950年初回國服務(wù)。1951年，華羅庚被任命為中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所所長。

1953年，他在數(shù)學(xué)所組織了“ 數(shù)論導(dǎo)引” 與“ 哥德巴赫（G.Goldbach）猜想“ 兩個(gè)討論班，指導(dǎo)越民義、許孔時(shí)、王元、吳方、魏道政、嚴(yán)士健、任建華研究解析數(shù)論。1956年，華羅庚調(diào)廈門大學(xué)陳景潤來數(shù)學(xué)所工作。

1955年，閔嗣鶴在北京大學(xué)數(shù)學(xué)系開設(shè)解析數(shù)論專門化，參加的學(xué)生有潘承洞、尹文霖、邵品宗與侯天相。以前，閔嗣鶴還指導(dǎo)過遲宗陶。

解析數(shù)論的研究領(lǐng)域也從華羅庚與閔嗣鶴熟悉的指數(shù)和估計(jì)及其應(yīng)用拓展到篩法、模形式論、二次型論、丟番圖分析、超越數(shù)論、代數(shù)數(shù)論及數(shù)論的應(yīng)用等。

另外，中國還有幾位基本上靠自學(xué)成才并能在解析數(shù)論方面作出貢獻(xiàn)的人，他們是董光昌、丁夏畦與潘承彪。

近70年來，中國經(jīng)歷了抗日戰(zhàn)爭與解放戰(zhàn)爭。建國后，歷次政治運(yùn)動(dòng)不斷，特別是“文化大革命”十年浩劫。但解析數(shù)論的研究不僅沒有間斷，而且不斷取得令人鼓舞的成績，這是十分難得的。

本文僅列舉幾條經(jīng)典解析數(shù)論方面最重要的成果如下。這些結(jié)果及其證明在國內(nèi)外該領(lǐng)域最重要的著作中均可以見到。

2、華氏定理

華氏定理（1949）命q為一個(gè)正整數(shù)， f(x)=a_kx^k+...+a₁x 為一個(gè)k次整系數(shù)多項(xiàng)式且最大公約 數(shù)（a_k ，... ，a₁ q)=1，則對于任何ε >0皆有 
此處e(z)=e^2πiz與“0 ” 有關(guān)的常數(shù)為僅依賴于k與π的常數(shù)c(k,ε) 。

華氏定理溯源于高斯(C.F.Gauss)。他首先引進(jìn)f(x)=ax²的特例情況，即所謂高斯和S(q，ax²)，(a，q)=1，
并得到估計(jì)S(q，ax²)=O(q ^1/2)。

高斯引進(jìn)并研究高斯和的目的在于給出初等數(shù)論中非常重要的二次互反律一個(gè)證明。以后，不少數(shù)學(xué)家企圖推廣高斯和及他的估計(jì)，但他們只能對特殊的多項(xiàng)式所對應(yīng)的，S(q，f(s) )，取得成功，這一歷史名題直到1940年，才由華羅庚解決。

華氏定理是臻于至善的，即誤差主階1-1/k已不能換成一個(gè)更小的數(shù)。這只是取f(x)=x^k及q=p^k(p為素?cái)?shù))就可以知道。所以依•維諾格拉朵夫 （I. M. Vinogradov）稱贊華氏定理是驚人的。

華氏定理的直接應(yīng)用是，可以處理比希爾伯特（D. Hilbert）一華林（G.Waring）定理更為廣泛的問題: 命N為一個(gè)正整數(shù) ， f₁(x)(1<=i<=s)是首項(xiàng)系數(shù)為正的k次整值多項(xiàng)式， 考慮不定方程

N=f1(x1)+…+fs(xs)   (1)

的求解問題，特別取f₁(x) =…=f_s(x)=x^k， 即得

N=x₁^k+…+x_s^k  (2)

1770年，華林提出猜想:當(dāng)s>=s₀(k)時(shí)，(2) 有非零非負(fù)整數(shù)解。華林猜想是希爾伯特于1900年證明的。于是華林猜想就成了著名的希爾伯特一華林定理，但用希爾伯特方法所能得到的S₀(k)將是很大的，20年代以后，哈代、李特伍德(J.E. Littlewood)與依•維諾格拉朵夫用圓法及指數(shù)和估計(jì)法對S₀(k)作了精致的定量估計(jì)。用華氏定理基本上可以將依•維諾格拉朵夫關(guān)于華林問題的重要結(jié)果推廣至不定方程（1），即假定（1）滿足必須滿足的條件，則當(dāng)s>=s₀=O(klogk)及N充分大時(shí)，（1）有非零非負(fù)整解。當(dāng)s>=s’₀=(k²logk)時(shí)，方程（1）的解數(shù)有一個(gè)漸近公式。

3、華氏不等式

華氏不等式(1938)命N為一個(gè)正整數(shù)， f(x)對為一個(gè)k次整系數(shù)多項(xiàng)式，T(a)=∑^N_x=1， 則對于任 何ε>0及1<=j <=k 皆有

華氏不等式的直接應(yīng)用為不定方程(1)，由圓法來處理方程(1)，則首先需將方程(1)的解數(shù)表示成(0，1)上的一個(gè)積分，然后將(0，1)，分成互不相交的優(yōu)孤與劣孤之并，優(yōu)孤上的積分給出(1)的解數(shù)的主項(xiàng)，需證明劣孤上的積分是一個(gè)低階項(xiàng)，從而可以忽略不計(jì)，這樣就得到了解數(shù)漸近公式。華羅庚證明了：假定f_i(x)(1<=i<=s)為滿足必須滿足的條件的k次整值多項(xiàng)式。則當(dāng)s>=2^k+1時(shí)，方程(1)的解數(shù)有一個(gè)漸近公式。特別對于華林問題，即方程(2)，當(dāng)s>=2^k+1時(shí)，對充分大的N，(2)有非尋常非負(fù)解，且解數(shù)有漸近公式。當(dāng)k<=10時(shí)，這一結(jié)果是華林問題的最佳結(jié)果。直到半個(gè)世紀(jì)之后，基于對華氏不等式的某些改良，沃恩（R.F. Vaughan）與希斯布朗(D.R.Heath-Brown)才能對華羅庚關(guān)于華林問題的結(jié)果作點(diǎn)改進(jìn)，但他們所用的方法卻繁得多了。

基于華羅庚關(guān)于解析數(shù)論的基本方法，即關(guān)于指數(shù)和估計(jì)的華氏定理與華氏不等式，再加上依• 維諾格拉朵夫的韋爾（H.Weyl）和估計(jì)與關(guān)于素?cái)?shù)變數(shù)的指數(shù)和估計(jì)，華羅庚系統(tǒng)地研究了不定方程(1)及其他堆壘問題的求解問題，并限制變數(shù)x₁，x₂，…x， 均取素?cái)?shù)值。

華羅庚的結(jié)果總結(jié)在他的專著《堆壘素?cái)?shù)論》中，這本書被譯成俄文、英文、德文、匈牙利文與日文。它是圓法、指數(shù)和估計(jì)及其應(yīng)用方面最重要的經(jīng)典著作之一。

4、陳氏定理

陳氏定理（1966）每一個(gè)充分大的偶數(shù)都是一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和。簡記為（1，2）。
誠如哈貝斯坦（H. Halberstam）與黎切爾特(H.E.Richert)所稱，陳氏定理為“ 驚人的定理” ，而且“ 從篩法的任何方面來說，它都是光輝的頂點(diǎn)”。

陳氏定理與篩法相關(guān)，篩法導(dǎo)源于公元前250年的“ 埃拉朵斯染尼氏（Eratosthenes）篩法” ，1919 年，布倫(V.Brun)對這一方法作出了重大改進(jìn)，并將它用于哥德巴赫猜想。1947年，賽爾貝格（A.Selberg）給出了埃拉朵斯染尼氏篩法的另一個(gè)重大改進(jìn)。

哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫與歐拉（L.Euler）的通信中提出來的，可以表述為：每一個(gè)不小于4的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)之和 。簡記為（1，1）。

1900年，在希爾伯特的著名演講中，又將這一猜想列入他的23個(gè)數(shù)學(xué)問題中的第八問題。布倫首先證明了：每個(gè)充分大的偶數(shù)都是兩個(gè)素因子個(gè)數(shù)均不超過9的整數(shù)之和，簡記為（9，9），余類推，（1，1）即表示哥德巴赫猜想對充分大的偶數(shù)成立。布倫的方法與他的結(jié)果先后被拉代馬海爾（H.Rademacher），艾斯特曼(T. Estermann)，黎奇(G. Ricci)，布赫斯塔布(A.A. Buchstab)與孔恩(P.Kuhn)所改進(jìn)。

將布倫、布赫斯塔布與賽爾貝格方法相結(jié)合，王元改進(jìn)了布赫斯塔布的結(jié)果，他證明了

（3，4）（王元，1956）。

再與孔恩方法相結(jié)合，他又得到了當(dāng)時(shí)的最佳結(jié)果

（2，3）（王元，1957）。

處理哥德巴赫猜想的另一途徑是，將布倫篩法與林尼(Yu.V. Linnik)的大篩法相結(jié)合。首先是雷尼(A. Renyi)于1947年證明了，存在常數(shù)c使(l，c) 成立，潘承洞與巴爾巴恩(M.B.Barban)獨(dú)立地確定了c之值，潘承洞的結(jié)果如下：

（1，5）（潘承洞，1962），

（1，4）（潘承洞，1963）。

這是當(dāng)時(shí)的最佳結(jié)果，由于邦比里( E. Bombieri)與阿•維諾格拉朵夫(A.I.Vinogradov)對大篩法及算術(shù)級數(shù)素?cái)?shù)分布的均值定理的重大貢獻(xiàn)，他們于1965年證明了(1，3)，在上述成就的基礎(chǔ)上，加上天才的創(chuàng)造，陳景潤于1966年證明了(1，2)，陳景潤的方法在國外稱為“轉(zhuǎn)換原理”。

5 、其他工作

在經(jīng)典解析數(shù)論的下列方面：依• 維諾格拉朵夫的韋爾和估計(jì)的改進(jìn)與簡化；塔內(nèi)(Tarry)問題；高斯圓內(nèi)整點(diǎn)問題；狄里赫雷（P.C.L.Dirichlet）除數(shù)問題；黎曼（G. F. B. Riemnan）ξ一函數(shù)在臨界線上的值估計(jì)；最小原根估計(jì)；最小皮爾（J.Pell）氏方程解的估計(jì)；算術(shù)級數(shù)中最小素?cái)?shù)的估計(jì)；小區(qū)間中殆素?cái)?shù)估計(jì)；小區(qū)間中哥德巴赫數(shù)的估計(jì)；有限制的三素?cái)?shù)定理；無平方因子數(shù)的估計(jì)以及球內(nèi)整點(diǎn)問題與高維除數(shù)問題等，中國數(shù)學(xué)家都作出了引人注目的貢獻(xiàn)，在此就不詳細(xì)敘述了。