數(shù)學(xué)王子高斯有一句名言：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的女王”；他又講：“數(shù)論是數(shù)學(xué)的王冠”。俄國數(shù)學(xué)家辛欽曾經(jīng)評論說，哥德巴赫猜想是王冠上的一顆明珠。當(dāng)然，這個王冠上可能還有其它明珠。 哥德巴赫并不是職業(yè)數(shù)學(xué)家，而是一個喜歡研究數(shù)學(xué)的富家子弟。他于1690年生于德國哥尼斯堡，受過很好的教育。哥德巴赫喜歡到處旅游，結(jié)交數(shù)學(xué)家，然后跟他們通訊。1742年，他在給好友歐拉的一封信里陳述了他著名的猜想――哥德巴赫猜想。歐拉在回信中說，他相信這個猜想是正確的，雖然他不能給出證明。
用當(dāng)代語言來敘述，哥德巴赫猜想有兩個內(nèi)容，第一部分叫做奇數(shù)的猜想，第二部分叫做偶數(shù)的猜想。奇數(shù)的猜想指出，任何一個大于等于7的奇數(shù)都是三個素數(shù)的和。偶數(shù)的猜想是說，大于等于4的偶數(shù)一定是兩個素數(shù)的和。
任何人看了這個猜想之后，都能發(fā)現(xiàn)這是一個漂亮的猜想。本人認(rèn)為，一個好的猜想應(yīng)該具備以下四個條件。第一，它的表述應(yīng)該很簡單，大凡智力正常的人一聽就能明白。我相信，小學(xué)四、五年級的學(xué)生都能明白哥德巴赫猜想的內(nèi)容。第二個條件，雖然表述很簡單，但是這個猜想的證明斷然不能簡單。第三點(diǎn)，一旦有了證明，這個證明一定是出人意料的。一個好的猜想的證明一定是有趣的，絕對不能像愚公移山一樣，天天重復(fù)同樣枯燥的工作，重復(fù)了上萬年，才取得成功。第四點(diǎn)，這個猜想絕對不能是孤立的，任何孤立的猜想在數(shù)學(xué)中都沒有太大的意義。一個好的猜想的研究應(yīng)該可以提升到人類文化史的高度上來看，能夠帶動其它相關(guān)領(lǐng)域，甚至是數(shù)學(xué)以外的學(xué)科的發(fā)展。具備上面這四點(diǎn)，那就是一個偉大的猜想。我個人認(rèn)為，哥德巴赫猜想就具備以上這四個條件。
給定一個猜想，人們可以用各種各樣的方法進(jìn)行研究。譬如，對于哥德巴赫猜想，有人可能用數(shù)手指頭的方法來研究，這人可能是小學(xué)生。有人想用打算盤的方法來研究，那這人可能是一個小店的會計兼出納。真正研究這個猜想，則需要可以看出數(shù)學(xué)的特性――數(shù)學(xué)是在所有科學(xué)當(dāng)中唯一能夠處理無窮的學(xué)科。我們不能用做實(shí)驗(yàn)的方法來研究哥德巴赫猜想。計算機(jī)算得再快，也只能在有限時間內(nèi)算有限個數(shù)；然而，遺憾的是，奇數(shù)和偶數(shù)都有無窮多個。所以，這個猜想讓迷信實(shí)驗(yàn)的人非常沮喪。不過，在最好的計算機(jī)所能算到的范圍之內(nèi)，哥德巴赫猜想全是對的。
相對來講，奇數(shù)的猜想比較容易，因?yàn)樗桥紨?shù)的猜想的推論。如果每個大偶數(shù)都能寫成兩個素數(shù)之和，那么我們就能夠證明任何大奇數(shù)都是三個素數(shù)之和，因?yàn)槿魏纹鏀?shù)減去3都是一個偶數(shù)。 關(guān)于哥德巴赫猜想的研究，歷史上第一個重要文獻(xiàn)是哈代和李特伍德1921年的偉大論文，在這篇長達(dá)70頁的文章里，他們提出了圓法。哈代在英國皇家學(xué)會演講時說：“我和李特伍德的工作是歷史上第一次嚴(yán)肅地研究哥德巴赫猜想”，雖然此前很多有名的數(shù)學(xué)家都研究過這個猜想，甚至有人宣布證明了猜想。然而，哈代和李特伍德對奇數(shù)猜想的證明依賴于一個條件――廣義黎曼猜想――這個猜想到現(xiàn)在也未被證明。在英國人看來，哈代重振了牛頓以后的英國分析。
1937年，俄國數(shù)學(xué)家維諾格拉朵夫（I．M．Vinogradov）無條件地基本證明了奇數(shù)的哥德巴赫猜想。維諾格拉朵夫定理指出，任何充分大的奇數(shù)都能寫成三個素數(shù)之和。也就是說，在數(shù)軸上取一個大數(shù)，從這個數(shù)往后看，哥德巴赫猜想都對；在這個數(shù)前面的奇數(shù)，需要用手或計算機(jī)來驗(yàn)證。然而，至今計算機(jī)還未能觸及那個大數(shù)。
維諾格拉朵夫的證明發(fā)表之后，又出現(xiàn)了幾個新證明。這些證明既簡潔，又提供了完全不同的方法。在這些新證明中，有三個特別應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的：一個是俄國數(shù)學(xué)家林尼克（Yu．V．Linnik）的，再一個是潘承洞先生的；還有英國數(shù)學(xué)家沃恩（R．C．Vaughan）的。在相當(dāng)長的一個階段內(nèi)，人們認(rèn)為林尼克是離哥德巴赫猜想很近的人，他對哥德巴赫猜想進(jìn)行了深入的研究。與此同時，他還是一個很好的數(shù)理統(tǒng)計學(xué)家。
很遺憾，偶數(shù)的哥德巴赫猜想到現(xiàn)在都沒有得到證明。但是，數(shù)學(xué)家們從各個方向逼近這個猜想，并且取得了輝煌的成就。其中，命題（1＋2）的證明是陳景潤先生完成的。 中國科技信息研究所加工整理 20030211
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