他感到困惑：在數(shù)學(xué)上，他或者其他任何人還能再做點(diǎn)別的什么？他的最大雄心之一是要計(jì)算任意幾何體的體積和表面積；然而他還不知道該怎么下手。他使用的工具是純粹幾何的，基于希臘數(shù)學(xué)家們的數(shù)百年的研究并在他出生數(shù)十年前由歐幾里得編寫在他的名著《原本》中的那些知識(shí)。鑒于數(shù)學(xué)工具的十分缺乏，局限了阿基米德的視野。他得不出分?jǐn)?shù)相加、相乘的快捷方法。為此，人們得花上千年時(shí)間等待十進(jìn)制由印度和阿拉伯傳到歐洲并使其發(fā)展。十進(jìn)制的引進(jìn)所帶來的符號(hào)簡化在其力所能及的范圍是革命性的。

將阿基米德留在敘拉古的沙灘上，讓他去思考數(shù)學(xué)的未來還有些什么吧，現(xiàn)在我們?nèi)ピ煸L艾薩克·牛頓爵士（1642－1727）。23 歲時(shí)，當(dāng)時(shí)剛?cè)〉脛�橋大學(xué)學(xué)士學(xué)位，牛頓便被迫回家度過了18 個(gè)月光陰，因?yàn)槟菚r(shí)正值大瘟疫，使大學(xué)關(guān)了門。在這短短的時(shí)間里，牛頓有了許多基本的發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)上他發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理及微積分的初期形式，在物理上則發(fā)現(xiàn)了白光的組成及萬有引力定律，現(xiàn)在我們?nèi)��?huì)一會(huì)年事已高的牛頓，并問一問他那個(gè)同樣對(duì)阿基米德提出的問題：什么是數(shù)學(xué)的未來？他可能會(huì)很快回應(yīng)道，簡單的回答是，繼續(xù)建造微積分。借助于微積分，牛頓可以把任何幾何形狀的體積和表面積用積分來表示，并能計(jì)算到任意精確度，這是阿基米德所不能想象的，牛頓思考著這樣的事實(shí)，即用萬有引力定律和他自己的力學(xué)三基本定律（他會(huì)說‘我的定律’），他能夠以解微分方程的辦法來算出運(yùn)動(dòng)物體的軌跡，而這些方程表現(xiàn)了力的平衡，那么，他自問道：‘我們能用微分方程去描述其他的自然法則，從而能以發(fā)展解出這些方程的工具的方法來預(yù)言自然的進(jìn)程嗎？’但即便是牛頓的視野也不可避免地有所局限。

從這時(shí)起到高斯（1777 -1885）在數(shù)論中的基本發(fā)展花去了一百年，而到發(fā)展微幾何的復(fù)雜性和黎曼流形則又多花了五十年。當(dāng)我們離現(xiàn)代越近則越容易預(yù)測未來，大衛(wèi)·希爾伯特（1862 －1943）是一位對(duì)數(shù)學(xué)的幾乎每一個(gè)領(lǐng)域都有本質(zhì)性的貢獻(xiàn)的人。他在1900年巴黎召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上列出一系列著名的數(shù)學(xué)問題，在這整個(gè)20 世紀(jì)對(duì)各個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著極大的影響，比如在數(shù)論、集合論、幾何、拓?fù)湔摷捌�微分方程�?/p>

在最近的五十年中，我們親自體察了在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域中的巨大進(jìn)展。在我所從事的偏微分方程（PED）這一領(lǐng)域中，我們現(xiàn)在有了一個(gè)巨大的知識(shí)主體，使我們能夠去理解，預(yù)測并計(jì)算許多重要的物理和技術(shù)過程。例如，當(dāng)我們測量一個(gè)固體的表面溫度，我們就可通過解稱之為“熱傳導(dǎo)方程”的偏微方程去推導(dǎo)出物體內(nèi)部的溫度，如果從外部加熱一個(gè)冰塊，它開始融化，我們?cè)谖⒎址匠谭矫娴闹�識(shí)使我們可以斷定融化了的體積是怎樣變化的，以及在融化了的體積中的水溫�！傲簵U方程”同樣能預(yù)言當(dāng)承受壓縮力時(shí)一個(gè)彈性梁是如何變化。當(dāng)加在梁上的壓力超過一個(gè)臨界值時(shí)，它就會(huì)突然翹曲，形變?yōu)樵S多狀態(tài)中的一種。這種情形解釋了微分方程解的多重性。

不管我們?cè)谖⒎址匠谭矫娴闹�識(shí)有多么豐富，仍然有許多東西我們不知道。舉例來說，我們不知道氣體動(dòng)力方程是否有一個(gè)數(shù)學(xué)解，這個(gè)方程是用來確定飛機(jī)周圍和發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)的氣流的。我們沒有合適的知識(shí)來處理預(yù)測水的運(yùn)動(dòng)方程的解，從而我們對(duì)海洋的渦流缺乏了解，這些及其他許多的基本問題仍然期待得到數(shù)學(xué)的解答，在未來十年中它們?nèi)允巧钊胙芯康闹黝}。

數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域無疑也處在同樣的不確定狀態(tài)：雖然取得巨大進(jìn)展，依然有許多基本問題沒有解決。相對(duì)于早先的世紀(jì)而言我們處在一個(gè)充滿冒險(xiǎn)和刺激的地位：我們已經(jīng)發(fā)展了許多重要的研究領(lǐng)域，已經(jīng)有了許多強(qiáng)有力的計(jì)算和理論的工具。數(shù)學(xué)家們?cè)谖磥碓S多年里可以繼續(xù)忙于用現(xiàn)在的工具去尋找新方法，用來解決在數(shù)學(xué)和非數(shù)學(xué)（即科學(xué)和工程）領(lǐng)域中出現(xiàn)的問題。

然而數(shù)學(xué)史表明，由現(xiàn)在去預(yù)言長遠(yuǎn)未來的發(fā)現(xiàn)是多么徒勞。的確如此，在今天難以想象的數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域，會(huì)完全料想不出地冒出來。因此我不去預(yù)測下個(gè)世紀(jì)數(shù)學(xué)的未來而在這里舉出科技中三個(gè)關(guān)鍵領(lǐng)域的例子，在那里數(shù)學(xué)是以誠相待非常重要的成份出現(xiàn)的。這三個(gè)領(lǐng)域是材料科學(xué)，生命科學(xué)和數(shù)碼技術(shù)。

材料科學(xué)中的數(shù)學(xué)

材料科學(xué)所關(guān)心的是性質(zhì)和使用。目的是合成及制造新材料，了解并預(yù)言材料的性質(zhì)以及在一定時(shí)間段內(nèi)控制和改進(jìn)這些性質(zhì)。不久以前，材料科學(xué)還主要是在冶金，制陶和塑料業(yè)中的經(jīng)驗(yàn)性研討，今天卻是個(gè)大大增長的知識(shí)主體，它基于物理科學(xué)，工程及數(shù)學(xué)。所有材料的性質(zhì)最終取決于它們的原子及其組合成的分子結(jié)構(gòu)。例如，聚合體是由簡單分子組合成的物質(zhì)，而這些分子是些重復(fù)的結(jié)構(gòu)單元，稱之為單體。單個(gè)的聚合體分子可以由數(shù)百至百萬個(gè)單體構(gòu)成并具有一個(gè)線性的，分枝或者網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)。

聚合體的材料可以是液態(tài)也可以是固態(tài)，其性質(zhì)取決于加工它的方式（譬如，先加熱，逐漸冷卻，高壓）。聚合體的交錯(cuò)纏繞的排列提出了一個(gè)困難的建模問題。但是，在一些領(lǐng)域中數(shù)學(xué)模型已經(jīng)表現(xiàn)得相當(dāng)可靠，這些模型非常復(fù)雜，故而迄今只取得很少幾個(gè)結(jié)果，它們對(duì)聚合體加工可能有用，聚合體的較簡單但卻更表象的模型是基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，但附加了要記憶的一些條件。對(duì)材料科學(xué)家來說，解的穩(wěn)定性與奇點(diǎn)是重要的結(jié)果，但甚至對(duì)于這些較簡單的模型仍缺少數(shù)學(xué)。

復(fù)合材料的研究是另一個(gè)運(yùn)用數(shù)學(xué)研究的領(lǐng)域，如果我們?cè)谝环N材料顆粒中攙入另一種材料，得到一種復(fù)合材料而其顯示的性質(zhì)可能根本不同于組成它的那些材料，例如汽車公司將鋁與硅碳粒子相混合以得到重量輕的鋼的替代物。帶有磁性粒子充電粒子的氣流能提高汽車的制動(dòng)氣流和防撞裝置的效果。

最近十年來，數(shù)學(xué)家們?cè)诜汉�分析，PDE及數(shù)值分析中發(fā)展了新的工具，使他們能夠估計(jì)或計(jì)算混合物的有效性質(zhì)。但是新復(fù)合物的數(shù)目不斷增長，同時(shí)新的材料也不斷被開發(fā)出來，迄今所取得的數(shù)學(xué)成就只能看作一個(gè)相當(dāng)不錯(cuò)的開始。甚至對(duì)已經(jīng)研究了好些年的標(biāo)準(zhǔn)材料仍面臨著大量的數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)。例如，當(dāng)一個(gè)均勻的彈性體在承受高壓時(shí)會(huì)破裂。破裂是從何處又是怎樣開始的，它們是怎樣擴(kuò)展的，何時(shí)它們分裂成許多裂片，這些都是有待研究的問題。

生物學(xué)中的數(shù)學(xué)

在生物學(xué)和醫(yī)藥科學(xué)中也出現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型, 炒得很熱的基因方案的一些重要方面需要統(tǒng)計(jì), 模型識(shí)別以及大范圍優(yōu)化法 雖不太熱卻是長期挑戰(zhàn)的是生物學(xué)其他領(lǐng)域中的進(jìn)展, 比如在生理學(xué)方面, 拿腎臟作個(gè)例子吧, 腎的功能是以保持危險(xiǎn)物質(zhì)( 如鹽) 濃度的理想水平來規(guī)范血液的組成。如果一個(gè)人攝入了過多的鹽，腎就必須排出鹽濃度高于血液中所含濃度的尿液。在腎的四周上有上百萬個(gè)小管，稱作腎單位，負(fù)有從血液中吸收鹽份轉(zhuǎn)入腎中的職責(zé)，他們是通過與血管接觸的一種傳輸過程來完成的，在這個(gè)過程中滲透壓力過濾起了作用。生物學(xué)家已把這過程涉及到的物質(zhì)與人體組織視為一體了，但過程的精確過程卻還只是勉強(qiáng)弄明白了。

腎臟的運(yùn)作過程的一個(gè)初級(jí)數(shù)學(xué)模型，雖然簡單，卻已經(jīng)幫助說明了尿的形成以及腎臟做出的抉擇，比如是排出一大泡稀釋的尿還是一小泡濃縮的尿，然而我們僅僅是在了解這種機(jī)理的非常初級(jí)的階段。一個(gè)更加完全的模型可能會(huì)包含 PDE 、 隨機(jī)方程、流體力學(xué)、彈性力學(xué)、濾波論及控制論，或許還有一些我們尚不具備的工具。心臟力學(xué)、鈣（骨）力學(xué)、聽覺過程、細(xì)胞的附著與游離（對(duì)生物過程是非常重要的，如發(fā)炎與傷口愈合）以及生物流體是生理學(xué)中其他一些學(xué)科，在那里現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究已經(jīng)取得了一些成就；更多的成就會(huì)隨后而至。

數(shù)學(xué)將要取得重要進(jìn)展的其他領(lǐng)域，包括有一般性的生長過程和特殊的胚胎學(xué)、細(xì)胞染色、免疫學(xué)、反復(fù)出現(xiàn)的傳染病，還有環(huán)保項(xiàng)目如植物中的大范圍現(xiàn)象及動(dòng)物群體性的建模。當(dāng)然我們決不能忘記還有人類的大腦，自然界最棒的計(jì)算機(jī)，還有它所具有的感覺神經(jīng)元、動(dòng)作神經(jīng)元以及感情和夢想！

多媒體中的數(shù)學(xué)

大約五十年前建成了第一臺(tái)計(jì)算機(jī)，從而開始了一場可從表面上看1760 年到1840年發(fā)生在英國的產(chǎn)業(yè)革命相匹比的靜那牡母命。我們現(xiàn)在親自證實(shí)了這場計(jì)算機(jī)革命的完全沖擊：在商業(yè)、制造業(yè)、保健機(jī)構(gòu)及工程業(yè)，與計(jì)算和通訊技術(shù)的進(jìn)步相配的是數(shù)字信息的萌芽狀態(tài)，它已為多媒體鋪出了一條路，其產(chǎn)品包括了文字圖像、電影、錄像、音樂、照像、繪畫、卡通、數(shù)據(jù)、游戲及多媒體軟件，所有這些都由一個(gè)單獨(dú)站址發(fā)送。

多媒體的數(shù)學(xué)包括了一個(gè)大范圍的研究領(lǐng)域，它包含有計(jì)算機(jī)可視化，圖像處理，語音識(shí)別及語言理解、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)和新型網(wǎng)絡(luò)。這些會(huì)有廣泛的應(yīng)用，應(yīng)用于制造業(yè)、商業(yè)、銀行業(yè)、醫(yī)療診斷、信息及可視化，還有娛樂業(yè)，這只點(diǎn)出了幾個(gè)而已。多媒體中的數(shù)學(xué)工具可能包括隨機(jī)過程、Marko 場、統(tǒng)計(jì)模型、決策論、PDE 、數(shù)值分析、圖論、圖表算法、圖象分析及小波等。還有其他一些領(lǐng)域中的一些，目前似乎還處在某種程度的監(jiān)護(hù)下，如人造生命和虛擬世界。

計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)正在成為許多工業(yè)部門的強(qiáng)大工具：完全在計(jì)算機(jī)上設(shè)計(jì)，在鍵盤上一敲后產(chǎn)品便在遠(yuǎn)處的工廠里實(shí)現(xiàn)了。這種技術(shù)能成為數(shù)學(xué)家進(jìn)行研究的工具嗎？萬維網(wǎng)已經(jīng)成為多媒體最強(qiáng)勁的動(dòng)力。它未來的輝煌取決于許多新的數(shù)學(xué)思想和算法的發(fā)展，目前仍處在孩提時(shí)期。隨著多媒體技術(shù)的擴(kuò)展，對(duì)于保護(hù)私人數(shù)據(jù)的通訊文本的需要也與日俱增。發(fā)展一個(gè)更加安全的密碼系統(tǒng)就是數(shù)學(xué)家們的任務(wù)了。為此，他們必定要借助于在數(shù)論、離散數(shù)學(xué)、代數(shù)幾何及動(dòng)力系統(tǒng)方面的新進(jìn)展，當(dāng)然還有其他一些領(lǐng)域。

在物質(zhì)的與生命的科學(xué)和在技術(shù)的發(fā)展中，數(shù)學(xué)繼續(xù)起著與日俱增的重要作用。

正如阿基米德站在敘拉古的海灘上一樣，這里我們正站在一個(gè)新世紀(jì)和一個(gè)新千年的門檻上。我們只能推測，新的理論最終會(huì)解決一切向數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)的問題，無論它是來自我們生活的世界還是來自數(shù)學(xué)本身。在過去的幾個(gè)世紀(jì)里我們獲得了驚人的大量知識(shí)，但正如阿基米德和牛頓一樣，我們依然在不斷擴(kuò)展的數(shù)學(xué)地平線的門口。

作者：費(fèi)德曼（Avner Firedman ，美國明尼蘇達(dá)大學(xué)數(shù)學(xué)及應(yīng)用研究所所長）