新幾何學(xué)——《大自然的分形幾何》

1975年，分形學(xué)的創(chuàng)始人曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）出版了他的法文專著《分形對象：形、機(jī)遇與維數(shù)》，這標(biāo)志著分形理論正式誕生 。1982年曼德爾布羅特又出版了另一歷史著作《大自然的分形幾何》，此書雖是前書的增補(bǔ)本，但在曼德爾布羅特看來它卻是分形理論的“宣言書”，分形迷們把它當(dāng)作是一部“分形的圣經(jīng)”。曼德爾布羅特的分形理論是在他考察了自然界中許多不規(guī)則的現(xiàn)象�！�

曼德爾布羅特認(rèn)為，分形幾何扮演了兩種角色。它技術(shù)決定論混沌的幾何學(xué)，又是描述山巒、云團(tuán)和星系的幾何學(xué)。

自然科學(xué)與幾何學(xué)總是攜手并進(jìn)的。17世紀(jì)，開普勒發(fā)現(xiàn)能用橢圓描述行星繞太陽運行的軌道。這激勵了牛頓用萬有引力定律解釋這些橢圓軌道。

同樣，理想的擺做往復(fù)運動可以用正弦波形表示。簡單的動力學(xué)常常和簡單的幾何外形相聯(lián)系。這一種數(shù)學(xué)圖像暗示，物體的形狀和作用于它的力之間有一種平滑的關(guān)系。在行星和擺的例子中還暗示物理學(xué)是決定論的，由系統(tǒng)的過去便能預(yù)測其未來。

曼德爾布羅特也談到了他的分形幾何學(xué)產(chǎn)生的背景。他指出，兩種新近的科學(xué)進(jìn)展深深影響了幾何外形相聯(lián)系。首先是由于認(rèn)識到自然界充滿了某種稱為決定論混沌的事物。宇宙中許多表面看來服從決定論定律的簡單物理系統(tǒng)，其行為仍然是不可預(yù)測的。例如，受兩個力作用的擺。用決定論的觀念已無法預(yù)測其運動，這使大多數(shù)人吃驚。

第二種進(jìn)展來自對我們周圍見到的最不規(guī)則而復(fù)雜的現(xiàn)象：山巒和云團(tuán)的外形，星系在宇宙中的分布，離家近點，金融市場價格的起伏等，做數(shù)學(xué)描述所取得的成果。獲取這種數(shù)學(xué)描述的一條途徑在于找到“模型”。換言之，需構(gòu)想或發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)規(guī)則，使之能對實現(xiàn)的某些部分做“數(shù)學(xué)上的偽造”——做成山巒或云團(tuán)的照片、最深層空間的天體圖、報紙金融版的圖表等。

實際上，伽利略曾宣稱，“自然界偉大的書是用數(shù)學(xué)語言寫成的”，并補(bǔ)充說，“其特征為三角形、圓形和其他幾何圖形，沒有這些幾何圖形人們只能在黑暗的迷宮中做毫無結(jié)果的游蕩”。

然而不論模擬決定論混沌還是模擬不規(guī)則系統(tǒng)，這些歐幾里得外形已經(jīng)沒什么用。這些現(xiàn)象需要的幾何遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是三角形和圓。它們需要非歐幾里得結(jié)構(gòu)——特別是需要稱之為分形幾何的新幾何學(xué)。

1975年，曼德爾布羅特由描述碎石的拉丁文fractus，創(chuàng)造出分形（fractal）一詞。分形是幾何外形，它與歐幾里得外形相反，是沒有規(guī)則的。

首先，它們處處無規(guī)則可言。其次，它們在各種尺度上都有同樣程度的不規(guī)則性。不論從遠(yuǎn)處觀察，還是從近處觀察，分形客體看起來一個模樣——它是自相似的�！�

在大自然中自相似的例子有很多，隨處可見，像大樹的枝葉、花草與山川河流。

整體中的小塊，從遠(yuǎn)處看是不成形的小點，近處看則發(fā)現(xiàn)它變得輪廓分明，其外形大致和以前觀察的整體形狀相似。 

自然界提供了許多分形實例。例如，羊齒植物、菜花和硬花甘蘭，以及許多其他植物，它們的每一分支和嫩枝都與其整體非常相似。其生成規(guī)則保證了小尺度上的特征成長后就變成大尺度上的特征。

用明顯的數(shù)學(xué)模型加工出的分形工藝品為謝爾賓斯基（Sierpinski）墊圈。取一個三角形并把它分割成四個較小的三角形， 拿掉中心部分的第四個三角形，便留下一個白三角形。每一個新三角形也重復(fù)上述做法，便能獲得尺度不斷縮小具有同樣形式 的結(jié)構(gòu)，邊長總是教上一步邊長縮小一倍。當(dāng)客體的部分和整體完全相似，就可以說客體是線性自相似的。

然而，最重要的一些分形和線性自相似還是有區(qū)別的。其中有些是描述普通隨機(jī)性的分形，另一些是能描述混沌，或非線 性系統(tǒng)的分形（在這種系統(tǒng)中對系統(tǒng)行為起作用的因素，其作用程度與其產(chǎn)生的效果不成比例）。讓我們?yōu)樯蟽煞N情況舉出實例。

由于分形能構(gòu)造海岸線、山巒和云團(tuán)而知名，也曾用于為影片《星際旅行》制作過一些場景。

曼德爾布羅特介紹說，分形模擬著作是從少量的人類智慧和大量的博物學(xué)知識開始。人類智慧從觀察某些事物入手，像立體派畫家那樣做觀察�！霸茍F(tuán)不是球形，山巒不是錐形，海岸線不是圓的，樹皮不是光的，閃電不會沿直線行進(jìn)”。曼德爾布羅特強(qiáng)調(diào)，“所有這些自然結(jié)構(gòu)都具有不規(guī)則形狀，它們是自相似的。換言之，我們發(fā)現(xiàn)，把整體中的一部分放大便能進(jìn)一步揭示其深層結(jié)構(gòu)，而它幾乎就是我們一開始處理的那種原始結(jié)構(gòu)的復(fù)制品”。 

正是由于曼德爾布羅特看到了大自然中存在著這樣的規(guī)律和特性，他創(chuàng)造了一種新幾何學(xué)——大自然的分形學(xué)。