事實(shí)上，在400多年的時(shí)間里，由羅利爵士（Sir Walter Raleigh）最早提出的這個(gè)問(wèn)題——“開普勒猜想”（Kepler’s Conjecture）——難倒了眾多數(shù)學(xué)家。雖然最新一期的《數(shù)學(xué)年刊》（Annals of Mathematics）上刊登了匹茲堡大學(xué)數(shù)學(xué)教授托馬斯•海爾斯（Thomas C Hales）1998年完成的證明論文，但此種權(quán)威數(shù)學(xué)界承認(rèn)某一難題有了最終解答的通常形式，這一次似乎卻引起了更大的爭(zhēng)論。爭(zhēng)論的中心便是，你信得過(guò)一臺(tái)計(jì)算機(jī)的計(jì)算結(jié)果嗎？

說(shuō)起開普勒猜想的歷史，要回到1590年的某一天。在為自己的船隊(duì)出海遠(yuǎn)征前準(zhǔn)備物資時(shí)，沃爾特•羅利爵士突然想到:能不能根據(jù)一堆擺放整齊的炮彈的高度，推算出這些炮彈的準(zhǔn)確數(shù)目呢？他的助手、數(shù)學(xué)家托馬斯•哈里耳特（Thomas Harriot）幾乎毫不費(fèi)力的就給出了答案。然而，當(dāng)更深入地思考這個(gè)問(wèn)題時(shí)，哈里耳特卻發(fā)現(xiàn)，其中的奧秘并不那么簡(jiǎn)單。水手們慣常使用的擺放方式是否是最節(jié)約空間的方式？怎樣擺放球體，才能使它們占用最少的地方？哈里耳特設(shè)想出了多種堆放模型，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展出了自己的原子理論。

幾年后，在寫給著名天文學(xué)家開普勒（Johannes Kepler）的信中，哈里耳特提到了這個(gè)問(wèn)題。在經(jīng)過(guò)一系列的試驗(yàn)之后，開普勒在1611年出版的小冊(cè)子《新年禮物——論六出的雪花》中提出了自己對(duì)于問(wèn)題正確解答的猜想:當(dāng)大小相當(dāng)?shù)那蝮w按照“面心晶體”——球心位于正方體各面的中心上——的形式，并且將第一層擺放成六角形時(shí)，它們占用的空間最小，對(duì)空間的利用率可以超過(guò)74%。雖然開普勒沒(méi)有為自己的猜想給出證明，但他的影響力卻使該問(wèn)題自此被命名為“開普勒猜想”。

開普勒猜想被提出之后，許多數(shù)學(xué)家都試圖為其給出證明。但直到200多年后，另一位偉大的數(shù)學(xué)家高斯（Carl Friedrich Gauss）才在1831年部分證明了開普勒猜想，即對(duì)于規(guī)則形狀，開普勒猜想是正確的。但在此之后，開普勒猜想的證明工作再度停滯。在1900年的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，數(shù)學(xué)家大衛(wèi)•希爾伯特因此將其列入了著名的“二十三個(gè)未解數(shù)學(xué)難題”之一。

1953年，匈牙利數(shù)學(xué)家拉茲洛•費(fèi)耶•托斯（Laszlo Fejes Toth）指出，無(wú)論對(duì)于規(guī)則和不規(guī)則形狀，開普勒猜想的證明都可以減少到有限次數(shù)——但數(shù)目極為龐大——的計(jì)算。這就意味著，從理論上講，一種窮盡所有可能的證明方式是可行的。而一臺(tái)速度足夠快的計(jì)算機(jī)就可以將這種設(shè)想變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)。

從1992年開始，遵循著托斯的思路，當(dāng)時(shí)在密歇根大學(xué)的海爾斯開始與自己的學(xué)生合作，使用計(jì)算機(jī)輔助證明開普勒猜想。在經(jīng)過(guò)了6年的運(yùn)算后，1998年8月，海爾斯宣布證明完成。他的全部證明包括250頁(yè)筆記，3GB的計(jì)算機(jī)程序、數(shù)據(jù)和運(yùn)算結(jié)果。

雖然海爾斯的證明是如此的有異于常態(tài)，但《數(shù)學(xué)年刊》還是同意發(fā)表這篇論文。為此，《數(shù)學(xué)年刊》還特意聘請(qǐng)了匈牙利科學(xué)院的加伯•費(fèi)耶•托斯（Gabor Fejes Toth）——拉茲洛•費(fèi)耶•托斯的兒子——擔(dān)任評(píng)審委員會(huì)的負(fù)責(zé)人。

開普勒猜想并不是第一個(gè)依賴計(jì)算機(jī)獲得證明的著名數(shù)學(xué)難題。1976年，伊利諾伊大學(xué)的兩位數(shù)學(xué)家就使用計(jì)算機(jī)證明了著名的四色定理，即任何一幅地圖，只需要使用四種顏色，就能確保相鄰的兩個(gè)地區(qū)顏色不會(huì)相同。這個(gè)證明發(fā)表后，數(shù)學(xué)家們不斷地從中發(fā)現(xiàn)若干錯(cuò)誤。雖然每一次有錯(cuò)誤被發(fā)現(xiàn)時(shí)，研究人員都能迅速地改正這些錯(cuò)誤，但這卻給許多數(shù)學(xué)家留下了非常糟糕的印象。

為了避免重蹈四色定理證明的覆轍，《數(shù)學(xué)年刊》的工作人員決定對(duì)開普勒猜想的證明進(jìn)行徹底而謹(jǐn)慎的檢驗(yàn)。但是，在花了近6年的時(shí)間驗(yàn)證了海量的數(shù)據(jù)后，去年，評(píng)審委員會(huì)卻無(wú)奈地宣布放棄全面驗(yàn)證開普勒猜想證明結(jié)果的計(jì)劃。他們驗(yàn)證到的所有部分都絲毫無(wú)誤，但要把全部數(shù)據(jù)都一一核查清楚，卻是一件幾乎不可能完成的使命。

《數(shù)學(xué)年刊》無(wú)奈之下，想出了一種變通的解決辦法。他們打算在發(fā)表的論文之前加上一條免責(zé)條款:本證明大部分，但非全部，被驗(yàn)證過(guò)。但是，這個(gè)主意卻遭到了許多數(shù)學(xué)家的批評(píng)。最后，在征求了另一位數(shù)學(xué)家的意見后，《數(shù)學(xué)年刊》做了一個(gè)所羅門王式的決定。把論文一切兩半，刊登已經(jīng)使用傳統(tǒng)方式驗(yàn)證過(guò)的證明，舍去計(jì)算機(jī)運(yùn)算的數(shù)據(jù)。

其實(shí)，圍繞開普勒猜想證明的一系列爭(zhēng)論，很大程度上是“數(shù)學(xué)課是否應(yīng)該允許學(xué)生使用計(jì)算器”的高端版本，只不過(guò)爭(zhēng)論的雙方變成了專業(yè)的數(shù)學(xué)家，而價(jià)值判斷的取舍也更為困難。問(wèn)題的焦點(diǎn)在于，如果接受了海爾斯的證明，也就意味著，假定計(jì)算機(jī)在執(zhí)行計(jì)算時(shí)完全無(wú)誤，不會(huì)存在任何微小的程序錯(cuò)誤。而是否真的是這樣，人類很難憑借自己的能力做出判斷。就像普林斯頓數(shù)學(xué)教授約翰•康威（John Conway）在接受《紐約時(shí)報(bào)》采訪時(shí)說(shuō)的:“我不喜歡它們（計(jì)算機(jī)證明），因?yàn)槟愀杏X不知道究竟發(fā)生了什么�！�

對(duì)于一向追求憑邏輯和運(yùn)算即可判定真?zhèn)�，并以明確簡(jiǎn)潔的證明為“好的數(shù)學(xué)”的原則的數(shù)學(xué)界而言，這無(wú)疑是讓人非常難以接受的結(jié)果。更何況，計(jì)算機(jī)的運(yùn)算也并非無(wú)可挑剔。英特爾公司就一直在使用校驗(yàn)工具軟件檢查其計(jì)算機(jī)芯片的運(yùn)算法則，希望避免1994年奔騰芯片曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)的數(shù)據(jù)運(yùn)算錯(cuò)誤再度發(fā)生。

不過(guò)，也有樂(lè)觀的數(shù)學(xué)家指出，既然現(xiàn)在最好的計(jì)算機(jī)可以在比賽中打敗世界象棋冠軍，那么，未來(lái)的計(jì)算機(jī)也應(yīng)該能夠解出難倒了最偉大的數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)難題。但問(wèn)題的關(guān)鍵似乎不在于此。開普勒說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)是惟一好的形而上學(xué)。用計(jì)算機(jī)如此形而下的方式解答他留下來(lái)的猜想，多少總有些諷刺的味道罷。

2004-04-29