1875年他在慕尼黑高等技術(shù)學(xué)院取得了一個教席。在這里，他的學(xué)生包括胡爾維茨、馮戴克、洛恩、普朗克、畢安奇和里奇。五年之后，克萊因應(yīng)邀去萊比錫大學(xué)講授幾何學(xué)。在這里他和他過去的出色的學(xué)生馮戴克、洛恩、司徒迪和恩格爾等成為了同事。

1886年，克萊因接受了哥廷根大學(xué)的邀請來到哥廷根，開始了他的數(shù)學(xué)家的生涯。他講授的課程非常廣泛，主要是在數(shù)學(xué)和物理之間的交叉課題，如力學(xué)和勢論。他在這里直到1913年退休。他實現(xiàn)了要重建哥廷根大學(xué)作為世界數(shù)學(xué)研究的重要中心的愿望。著名的數(shù)學(xué)雜志《數(shù)學(xué)年刊》就是在克萊因的主持管理下才能在重要性上達到和超過了《克萊爾雜志》的。這本雜志在復(fù)分析、代數(shù)幾何和不變量理論方面很有特色。在實分析和群論新領(lǐng)域也很出色。

要了解克萊因?qū)υ趲缀螌W(xué)上所作的貢獻的特點是有點難的，因為即使用我們今天數(shù)學(xué)思想的大部分來理解他的結(jié)果的新奇之處也是很困難的。他的主要課題是非歐幾何、群論和函數(shù)論。他的將各種幾何用它們的基礎(chǔ)對稱群來分類的愛爾蘭根綱領(lǐng)的發(fā)布影響深遠：是當時很多數(shù)學(xué)的一個綜合。 

克萊因在數(shù)學(xué)上做出的第一個貢獻是在1870年與李合作發(fā)現(xiàn)的。他們發(fā)現(xiàn)了庫默爾面上曲線的漸近線的基本性質(zhì)。他進一步地與李合作研究W-曲線。1871年克萊因出版了兩篇有關(guān)非歐幾何的論文，論文中證明了如果歐氏幾何是相容的，那么非歐幾何也是相容的。這就把非歐幾何置于與歐氏幾何同樣堅實的基礎(chǔ)之上。

克萊因在他的著名的埃爾朗根綱領(lǐng)中，以變換群的觀點綜合了各種幾何的不變量及其空間特性，以此為標準來分類，從而統(tǒng)一了幾何學(xué)。今天這些觀點已經(jīng)成為大家的標準。變換在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中扮演者主要角色�？巳R因指明了如何用變換群來表達幾何的基本特性的方法。

而克萊因自己認為他對數(shù)學(xué)的貢獻主要在函數(shù)理論上。1882年他在一篇論文中用幾何方法來處理函數(shù)理論并把勢論與保形映射聯(lián)系起來。他也經(jīng)常把物理概念用在函數(shù)理論上，特別是流體力學(xué)。

克萊因?qū)Υ笥谒拇蔚姆匠烫貏e是用超越方法來解五次的一般方程感興趣。在厄爾米特和克隆耐克爾建立了與布里奧斯奇類似的方法之后，克萊因立刻就用二十面體群去試圖完全解決這個問題。這個工作導(dǎo)致他在一系列論文中對橢圓模函數(shù)的研究。1884年，克萊因在他的一本關(guān)于二十面體的重要著作中，得到了一種連接代數(shù)與幾何的重要關(guān)系，他發(fā)展了自守函數(shù)論。他和一位來自萊比錫的數(shù)學(xué)家羅伯特·弗里克合作出版了一套四卷本的關(guān)于自守函數(shù)和橢圓模函數(shù)的著作，這本著作影響以后20年。另一個計劃是出版一套數(shù)學(xué)百科全書。1885年克萊因被英國皇家學(xué)會選為國外會員并被授予科普勒獎金。1908年克萊因被國際數(shù)學(xué)會選為在羅馬召開的數(shù)學(xué)家大會主席。 

克萊因發(fā)現(xiàn)的克萊因瓶

克萊因瓶的概念最初是由德國數(shù)學(xué)家菲利克斯·克萊因提出的�？巳R因瓶與莫比烏斯帶非常相像。我們還要提到克萊因發(fā)現(xiàn)的克萊因瓶，一種只有一個面的曲面。  

三維空間中的克萊因瓶數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，克萊因瓶是指一種無定向性的平面，比如2維平面，就沒有“內(nèi)部”和“外部”之分�？巳R因瓶的結(jié)構(gòu)非常簡單，一個瓶子底部有一個洞，現(xiàn)在延長瓶子的頸部，并且扭曲地進入瓶子內(nèi)部（真正的克萊因瓶是四維結(jié)構(gòu)，無須這一步），然后和底部的洞相連接。 和我們平時用來喝水的杯子不一樣，這個物體沒有“邊”，它的表面不會終結(jié)。它也不類似于氣球 ，一只蒼蠅可以從瓶子的內(nèi)部直接飛到外部而不用穿過表面（所以說它沒有內(nèi)外部之分）。 “克萊因瓶”這個名字的翻譯其實是有些錯誤的，因為最初用德語命名時候名字中“Fläche”是表面的意思。大概是誤寫為了“Flasche”，這個詞才是瓶子的意思。不過不要緊，“瓶子”這個詞用起來也非常合適。  從拓撲學(xué)角度上看，克萊因瓶可以定義為矩陣[0,1] × [0,1]，邊定義為 (0,y) ~ (1,y) 條件 0 ≤ y ≤ 1 和 (x,0) ~ (1-x,1) 條件 0 ≤ x ≤ 1 。就像莫比烏斯帶一樣，克萊因瓶沒有定向性。但是與之不同的是，克萊因瓶是一個閉合的曲面，也就是說它沒有邊界。莫比烏斯帶可以在3維的歐幾里德空間中嵌入，克萊因瓶只能適用于四維空間。