| 這樣的N是有限個，還是無窮多個?
對于已經(jīng)給定的N，如果有回歸數(shù)，那么有多少個回歸數(shù)?
我們來看看這種回歸數(shù)有什么規(guī)律呢？
1986年美國的一位數(shù)學(xué)教師安東尼.迪拉那（Anthony Diluna）巧妙地證明了使N位數(shù)成為回歸數(shù)的N只有有限個。設(shè)An 是這樣的回歸數(shù)，即：
An=a1a2a3……an=a1n+a2n+……+ann （其中 0<=a1，a2，……an<=9）
從而 10n-1<=An<=n9n 即 n 必須滿足 n9n>10n-1 也就是 (10/9)n<10n ⑴
隨著自然數(shù)N的不斷增大,，(10/9)n 值的增加越來越快,很快就會使得 ⑴ 式不成立,因此,滿足⑴的 n 不能無限增大,即 n 只能取有限多個.進(jìn)一步的計算表明：
(10/9)60=556.4798...<10*60=600 (10/9)61=618.3109...>10*61=610
對于 n>=61，便有 (10/9)n>10n
由此可知，使（1）式成立的自然數(shù) n<=60，故這種回歸數(shù)最多是60位數(shù)，迪拉那說，他的學(xué)生們早在1975年借助于哥倫比亞大學(xué)的計算機(jī)得到下列回歸數(shù)：
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一位回歸數(shù) （夜百荷數(shù)） |
:1,2,3,4,5,6,7,8,9 |
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二位回歸數(shù):不存在 (菊花數(shù)) |
（20，4，16，37，58，89，145，42） |
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三位回歸數(shù) (水仙花數(shù)) |
153， 370， 371， 407 |
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四位回歸數(shù) (桃花數(shù)) |
1634，8208，9474 |
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五位回歸數(shù) (梅花數(shù)) |
54748，92727，93084 |
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六位回歸數(shù)（雪花數(shù)） |
548834 |
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七位回歸數(shù)（玫瑰數(shù)） |
1741725，4210818，9800817，9926315 |
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八位回歸數(shù)（牡丹數(shù)） |
24696050，24696051，88593477 |
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| 九位回歸數(shù) （） |
146511208， 472335975，534494836 ，912985153 |
| 十位回歸數(shù) （） |
4679307774 |
| 十一位回歸數(shù) |
82693916578 44708635679 94204591914 32164049651 42678290603 40028394225
32164049650 49388550606 |
| 十二位回歸數(shù) |
無解 |
| 十三位回歸數(shù) |
0564240140138(只有廣義解一組) |
| 十四位回歸數(shù) |
28116440335967 |
| 十五位回歸數(shù) |
無解 |
| 十六位回歸數(shù) |
4338281769391371 4338281769391370 |
| 十七位回歸數(shù) |
35641594208964132 21897142587612075 35875699062250035 233411150132317(廣義解) |
| 十八位回歸數(shù) |
無解 |
| 十九位回歸數(shù) |
4498128791164624869 4929273885928088826 3289582984443187032 1517841543307505039 |
| 二十位回歸數(shù) |
14543398311484532713 63105425988599693916 |
| 二十一位回歸數(shù) |
128468643043731391252 449177399146038697307 |
| 二十二位回歸數(shù) |
無解 |
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| 三十二位回歸數(shù) |
17333509997782249308725103962772 |
| 五十六位回歸數(shù) |
02193762240761908392137860899658607674401938496187046968
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但是此后對于哪一個自然數(shù) n (<=60)還有回歸數(shù)?對于已經(jīng)給定的n
，能有多少個回歸數(shù)?最大的回歸數(shù)是多少?
12、13、15、18、22
3、現(xiàn)基本找齊60以內(nèi)的廣義花朵數(shù)，已找到的最大的廣義花朵數(shù)為
02193762240761908392137860899658607674401938496187046968
位數(shù)：02193762240761908392137860899658607674401938496187046968
三、循環(huán)圈花朵數(shù)，我們將完整花朵數(shù)與廣義花朵數(shù)都看做循環(huán)次數(shù)（周期）為1次的循環(huán)圈花
朵數(shù)。那么，一般地循環(huán)次數(shù)為M的就叫M次循環(huán)圈花朵數(shù)。1本身也是一個特殊的1次循環(huán)圈花朵
數(shù)。當(dāng)N是大于0的整數(shù)時：
1、對于任意N位數(shù)，N次冪來說，循環(huán)圈花朵數(shù)一定存在，至少有一個圈存在，如N等于2。
2、對于任意N位數(shù)，N次冪來說，最小的圈循環(huán)次數(shù)（周期）（1本身也是一個特殊的循環(huán)圈花朵數(shù)，除開1這個數(shù)之外）不一定是1，也不一定是2，對于不同的N來說不一樣，如N＝12時，最小的圈是5，它們是：
785119716404(5次)，
381286065015，
142281334933，
351184701607，
098840282759，
N＝18時，最小的圈是2，它們是：187864919457180831，375609204308055082，
3、對于任意N位數(shù)，N次冪來說，最大的圈相對N位數(shù)來說是很小的，但可能上千萬，甚至上億。已找到的最大的圈超過了億。
4、我們將循環(huán)圈花朵數(shù)又叫圈內(nèi)數(shù)或圈上數(shù)，非循環(huán)圈花朵數(shù)又叫圈外數(shù)。1的N次冪也等于1，因此，1是循環(huán)次數(shù)（周期）為1次的循環(huán)圈花朵數(shù)，也是圈內(nèi)數(shù)。對于任意N位數(shù)，N次冪來說，可將N位數(shù)分為圈內(nèi)數(shù)和圈外數(shù)，所有的圈外數(shù)，經(jīng)過一定次數(shù)的N次冪運算后會進(jìn)入圈內(nèi)數(shù)。
四、一般地廣義來講，對于任意一個數(shù)（可以在有理數(shù)范圍，且不受位數(shù)限制），對正整數(shù)N（可也是0）次冪運算來說。
1、至少存在一個圈，如N＝0，只有一個圈，圈上數(shù)為1，其它所有的數(shù)，經(jīng)過一次運算后，即進(jìn)入圈。
2、對于一定的N來說，圈子的個數(shù)是定值。
3、對于一定的N來說，最小的圈除1之外，最小的圈循環(huán)次數(shù)（周期）不一定是1，也不一定是2，對于不同的N不一樣，如N＝12時，最小的圈是5。
4、對于一定的N來說，最大的圈相對N位數(shù)來說是很小的，但可能上千萬,甚至上億。已找到的最大的圈超過了億。
5、對于N次冪來說，可將所有的有理數(shù)分為圈內(nèi)數(shù)和圈外數(shù)，所有的圈外數(shù)，經(jīng)過一定次數(shù)的N次冪運算后會進(jìn)入圈內(nèi)數(shù)。
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