什么是“等冪和問題”？

現(xiàn)在請看兩組自然數(shù)，每組各有三個數(shù)，每個都是六位數(shù)字。把這兩組數(shù)分別相加，你會發(fā)現(xiàn)它們的和是完全相等的，即：123789＋561945＋642864＝242868＋323787＋761943

這當(dāng)然并不稀罕�？墒牵�要知道它們各自的平方之和也是完全相等的，那就是說：

123789²＋561945²＋642864²＝242868²＋323787²＋761943²

還有更奇妙的呢！我們把每個數(shù)的最左邊一個數(shù)字依次抹掉，發(fā)現(xiàn)竟然不能改變數(shù)組的性質(zhì)，即有：23789k＋61945k＋42864k＝42868k＋23787k＋61943k
　　3789k＋1945k＋2864k＝2868k＋3787k＋1943k
　　…　…
　　9k＋5k＋4k＝8k＋7k＋3k（k＝1，2）
這就像“金蟬脫殼”一樣，脫掉最后一層，金蟬卻還是貨真價實(shí)的金蟬，其個性可謂至死不變！

現(xiàn)在我們反其道而行之，把原來兩組數(shù)的數(shù)字逐個從右邊抹掉，發(fā)現(xiàn)經(jīng)過如此的變動之后，這種“金蟬脫殼”性質(zhì)居然還能保持下來，即有：
　　12378k＋56194k＋64286k＝24286k＋32378k＋76194k
　　1237k＋5619k＋6428k＝2428k＋3237k＋7619k
　　…　…
　　1k＋5k＋6k＝2k＋3k＋7k（k＝1，2）

你說奇不奇，妙不妙？！

其實(shí)，上面所說的就是數(shù)論中著名的“等冪和問題”，由于等冪和數(shù)組往往具有“金蟬脫殼，至死不變”的性質(zhì)，極具欣賞價值，所以一直吸引著人們?nèi)ヌ綄じ�多的等冪和�?shù)組，那么，等冪和數(shù)組是怎樣構(gòu)造出來的呢？我們還是從最簡單的情形談起。

　　為了敘述方便，我們把上述等冪和數(shù)組記為：

＜123789，561945，642864/242868，323787，761943＞（＊）以下類同。

上述形式的一位數(shù)等冪和數(shù)組有：
　　�。�1，5，6/2，3，7＞�。�2，6，4/4，2，6＞　＜3，1，2/2，3，1＞
　　　＜7，9，8/8，7，9＞　＜8，4，6/6，8，4＞�。�9，5，4/8，7，3＞

　　我們注意到等冪和數(shù)組（＊）中相同數(shù)位上的數(shù)字就是上述數(shù)組中的數(shù)。因此，如果能找到某種規(guī)律，我們就能從已知的等冪和數(shù)級出發(fā)，構(gòu)造出新的等冪和數(shù)組。為此，我們把構(gòu)成數(shù)組（＊）的一位數(shù)數(shù)組列舉出來，并把其中的數(shù)從小到大排列，然后把對應(yīng)的烽邊接起來，看看有無什么現(xiàn)象。

不難看出，等冪和數(shù)組（＊）是上述六個等冪和數(shù)組的“對稱組合”——仔細(xì)看看，左邊與右邊的箭頭是不是相對稱？

一個很自然的問題是：把已知的若干等冪和數(shù)組中和數(shù)從小到大排列之后，進(jìn)行對稱組合，能不能形成新的等冪和數(shù)組呢？經(jīng)過大量實(shí)驗，我們發(fā)現(xiàn)結(jié)論是肯定的。大家可以試著組合一下。在此，我再向大家推薦另外一等冪和數(shù)組：
　�。�193333，648787，854842/276466，482521，937975＞
　　這組數(shù)經(jīng)過上述方法對稱組合后，能構(gòu)造出如下一些等冪和數(shù)組：
　　＜158832，644743，893383/237925，486561，972476＞
　�。�257，342，796/134，588，673＞
　�。�3811，7666，8158/4932，5424，9279＞
　�。�25627，46873，94162/18946，63235，87481＞

　　需要指出的是，參與構(gòu)造新等冪和數(shù)組的數(shù)組也可以是恒等冪和數(shù)組，不過其中三個數(shù)應(yīng)能構(gòu)成等差數(shù)列。例如＜3，5，7/3，5，7＞就能參與構(gòu)造。綜上所述，我們找到了一種構(gòu)造等冪和數(shù)組的方法，從而也就不難理解等冪和數(shù)組為什么往往具有“金蟬脫殼”的性質(zhì)了。

數(shù)論具有通俗性與最富有挑戰(zhàn)性這兩大特點(diǎn)，就是說，有些題目雖然說起來是人人都能聽懂，容易理解，可是它的證明過程卻是極其困難和復(fù)雜。正是這兩個特點(diǎn)，以其獨(dú)特的魅力吸引了眾多的數(shù)學(xué)愛好者，數(shù)論的問題就像磁鐵一樣，吸引了無數(shù)的數(shù)學(xué)愛好者為之貢獻(xiàn)自己的時間和精力，甚至是一生。只要你喜歡鉆研難題，就能從中體驗到無窮的樂趣。