1640年費馬在數(shù)論領(lǐng)域留下一個不可磨滅的足跡，他思考這樣一個式子：2^(2^n) + 1 的值是否一定為素數(shù)。當(dāng)n取0、1、2、3、4時，這個式子對應(yīng)值分別為3、5、17、257、65 537 ，費馬發(fā)現(xiàn)這五個數(shù)都是素數(shù)。

由此，費馬提出一個猜想：形如2^(2^n) + 1的數(shù)一定為素數(shù)。由于F₅太大（F₅ ＝4 294 967 297），費馬沒有再往下繼續(xù)進(jìn)行驗證。費馬在給朋友的一封信中寫道：“我已經(jīng)發(fā)現(xiàn)形如2^(2^n) + 1的數(shù)永遠(yuǎn)為素數(shù)。很久以前我就向分析學(xué)家們指出了這個結(jié)論是正確的�！� 費馬同時坦白地承認(rèn)，他自己未能找到一個完全的證明。 費馬所研究的F_n=2^(2^n) + 1這種具有美妙形式的數(shù)，被人稱之為費馬數(shù)。就這樣費馬提出了一個猜想：所有費馬數(shù)都一定是素數(shù)。費馬的判斷是正確的嗎？

要驗證費馬的猜想并不容易。因為隨著n的增大，F_n 迅速增大。比如對后人來說第一個需要檢驗的F₅＝4 294 967 297已經(jīng)是一個十位數(shù)了。大約過了近百年，他的猜想被證明是錯的。費馬過分相信自己的直覺，做出了一個錯誤猜測。后來的研究的證明了費馬不但是錯的，而且是大錯特錯呢！

1729年12月1日，哥德巴赫在寫給歐拉的一封信中問道：“費馬認(rèn)為所有形如2^(2^n) + 1的數(shù)都是素數(shù)，你知道這個問題嗎？費馬說他沒能作出證明。據(jù)我所知，也沒有其他任何人對這個問題作出過證明�！� 這個問題引起了歐拉的興趣。1732年，年僅25歲的歐拉驗證發(fā)現(xiàn)了F₅ ＝641×6 700 417，其中641=5×2⁷+1，這一結(jié)果意味著F₅ 是一個合數(shù)。歐拉之后，又有人發(fā)現(xiàn)F₆＝27 477×67 280 421 310 721，也是合數(shù)。令人驚奇的是，陸續(xù)有數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)F₇7，F(xiàn)₈……，直到F₁₉以及許多n值很大的F_n全都是合數(shù)。

此后人們對更多的費馬數(shù)進(jìn)行了驗證。計算機(jī)的發(fā)明使計算的過程大大簡化了，計算機(jī)成為數(shù)學(xué)家研究費馬數(shù)的有力工具。但即使如此，在所知的費馬數(shù)中竟然沒有再添加一個費馬素數(shù)。迄今為止，費馬素數(shù)除了被費馬本人所證實的那五個外竟然沒有再發(fā)現(xiàn)一個！因此人們開始猜想：在所有的費馬數(shù)中，除了前五個是素數(shù)外，其他的都是合數(shù)。但是目前能判斷它是素數(shù)還是合數(shù)的也只有幾十個，除費爾馬當(dāng)年給出的5個外，至今尚未有新的素數(shù)發(fā)現(xiàn)。人們開始猜測：費馬數(shù)是否只有有限個？除了那5個素數(shù)之外，是否再也沒有了？這兩個問題至今也沒有解決，成為數(shù)學(xué)中的一個謎。 

費馬數(shù)與尺規(guī)作圖：出人意料的結(jié)合 　　

二千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家曾深入研究過一類作圖問題，即：如何利用尺規(guī)作內(nèi)接正多邊形。早在《幾何原本》一書中，歐幾里得就用尺規(guī)完成了圓內(nèi)接正三邊形、正四邊形、正五邊形，甚至正十五邊形的作圖問題。然而，似乎更容易完成的正7、9、11……邊形卻未能做出。讓后來數(shù)學(xué)家尷尬的是，歐幾里得之后的2000多年中，有關(guān)正多邊形作圖仍停留在歐幾里得的水平上，未能向前邁進(jìn)一步。 因此，我們可以想象得到，當(dāng)1796年年僅19歲的高斯宣布他發(fā)現(xiàn)了正十七邊形的作圖方法時，會在數(shù)學(xué)界引起多么巨大的震憾了。 　

不過，高斯的結(jié)果多少顯得有些奇怪。他沒有完成正七邊形或正九邊形等的作圖，卻偏偏隔下中間這一些直接完成了正十七邊形。為什么第一個新做出的正多邊形是正十七邊形而不是正七、九邊形呢？

在高斯的偉大發(fā)現(xiàn)之后，問題仍然存在：正七邊形或正九邊形等是否可尺規(guī)完成？或者更清楚地闡述這個問題：正多邊形的邊數(shù)具有什么特征時，它才能用尺規(guī)做出？ 　　

在經(jīng)過繼續(xù)研究后，高斯最終在1801年對整個問題給出了一個漂亮的回答。高斯指出，如果僅用圓規(guī)和直尺，作圓內(nèi)接正n邊形，當(dāng)n滿足如下特征之一方可做出： 　 

（1）n=2^m；（ 為正整數(shù)）

（2）邊數(shù)n為素數(shù)且形如 n=2^2t（t+1=0 、1、2……）。簡單說，為費馬素數(shù)。

（3）邊數(shù) n具有n=2^mp₁p₂p₃...p_k ，其中p₁、p₂、p₃…p_k為互不相同的費馬素數(shù)。

由高斯的結(jié)論，具有素數(shù)p條邊的正多邊形可用尺規(guī)作圖的必要條件是p為費馬數(shù)。由于我們現(xiàn)在得到的費馬素數(shù)只有前五個費馬數(shù)，那么可用尺規(guī)作圖完成的正素數(shù)邊形就只有3、5、17、257、65537。進(jìn)一步，可以做出的有奇數(shù)條邊的正多邊形也就只能通過這五個數(shù)組合而得到。這樣的組合數(shù)只有31種。而邊數(shù)為偶數(shù)的可尺規(guī)做出的正多邊形，邊數(shù)或是2的任意次正整數(shù)冪或與這31個數(shù)相結(jié)合而得到。 　

就這樣，正多邊形作圖問題與費馬數(shù)極其密切地聯(lián)結(jié)在一起了！數(shù)學(xué)的一大魅力在于：看似全然無關(guān)的問題竟能以出人意料的方式彼此聯(lián)系在一起。透過“數(shù)學(xué)王子”高斯的杰出發(fā)現(xiàn)，人們確實可以從中充分領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的這種魅力。事實上，正是兩者這種出乎意料的神秘結(jié)合，使人們對費馬數(shù)有了更為持續(xù)不斷的興趣。 

費馬數(shù)研究的回顧與現(xiàn)狀 　

如上所述，對費馬數(shù)的研究費馬邁出了第一步。他給出正確的結(jié)論：前5個費馬數(shù)都是素數(shù)。然后，他做出猜想：所有的費馬數(shù)都是素數(shù)。 　

1732年，歐拉給出F₅的素因子分解式：F₅＝641×6 700 417，從而否定了費馬的推斷。為了得出這一結(jié)果，歐拉還研究了費馬數(shù)的性質(zhì)，證明了一個重要結(jié)論：當(dāng)n≥2時，費馬數(shù)F₅若有素因子，那么這一因子具有k×2ⁿ⁺¹+1 的形式。這樣在尋找F₅的因子時，就可直接排除掉許多不必進(jìn)一步檢驗的無關(guān)的數(shù)值，從而大大減輕的運算量。正是以此為依據(jù)，歐拉只對可能的因子進(jìn)行試除。最終找到了F₅的第一個因子641，最終把F₅進(jìn)行了完全分解。

1877年，數(shù)學(xué)家佩平得出一個重要的判據(jù)結(jié)果：費馬數(shù)F_n是素數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)F₅整除3^(F_n-1)/2+1 。這個結(jié)論對于檢驗費馬數(shù)的素性是很有效的。

1878年，盧卡斯改進(jìn)了歐拉的成果，證明費馬數(shù)F_n若有素因子，那么這一因子具有k×2ⁿ⁺¹+1 的形式。通過這一加強(qiáng)后的結(jié)論尋找F_n的素因子，從而判斷它是否是素數(shù)就更為簡捷了。實際上，正是這一結(jié)論奠定了人們尋找大的費馬合數(shù)的理論基礎(chǔ)。

1880年，著名數(shù)學(xué)家朗道給出F₆的素因子分解式：F₆＝247 177×67 280 421 310 721。

1905年，莫瑞漢德與韋斯坦證明F₇是合數(shù)。1908年，這兩位數(shù)學(xué)家利用同樣的方法證明F₈是合數(shù)。證明中使用了上述佩平檢驗法則。

1957年，羅賓遜找到F₁₉₄₅的一個因子：5×2¹⁹⁴⁷+1 ，從而證明它是合數(shù)。

1977年，威廉姆找到F₃₃₁₀ 的一個因子：5׳³¹³+1 ，從而證明它是合數(shù)。1980年，人們找到F₉₉₄₈的一個因子：19×2⁹⁴⁵⁰+1 ，從而證明它是合數(shù)。

1980年，哥廷汀證明 F₁₇是合數(shù)。

1987年，楊和布爾證明F₂₀是合數(shù)。

1980年，開勒證明了F₉₄₄₈是個合數(shù)，它有因子19×2⁹⁴⁵⁰+1 。

1984年，開勒找到F₂₃₄₇₁ 的一個因子：5×2²³⁴⁷³+1，從而證明它是一個合數(shù)。作為最大的費馬合數(shù)這一紀(jì)錄保持了近十年。

1992年，里德學(xué)院的柯蘭克拉里和德尼亞斯用計算機(jī)證明了F₂₂ 是合數(shù)，這個數(shù)的十進(jìn)制形式有100萬位以上。這一證明曾被稱為有史以來為獲得一個“一位”答案（即“是－否”答案）而進(jìn)行的最長計算，總共用了10¹⁶次計算機(jī)運算。

在對費馬數(shù)的素因子分解方面，進(jìn)展要緩慢得多。

1971年，布里罕德和莫利遜用連分?jǐn)?shù)法，借助于電子計算機(jī)花了一個半小時的機(jī)時把F₇分解為兩個質(zhì)因子的乘積，這兩個質(zhì)因子一個17位，一個22位。

1981年，布瑞特和普拉德利用蒙特卡羅方法在計算機(jī)上計算了兩小時，對F₈進(jìn)行了分解，求得 F₈＝1238926361552897與一個62位素數(shù)的積。

1990年美國加州伯克萊分校的林斯特拉等人利用數(shù)域篩法（nFS）（并借助計算網(wǎng)絡(luò)）分解了 F₉。它是2424833與一個148位數(shù)的積。 

同年，澳大利亞國立大學(xué)的布瑞特用ECM算法（橢圓曲線法）分解了F₁₀和F₁₁ 。迄今為止，F₅ ~F₁₁ ，是人們已經(jīng)完成標(biāo)準(zhǔn)素因子分解式的費馬合數(shù)。n＝12、13、15、16、17、18、19、21、23時，對應(yīng)的費馬數(shù)已找到部分因子。 

最小的尚未完全分解的費馬數(shù)是F₁₂，它還有一個1187位的因子尚需要分解。n＝14、20、22、24時已經(jīng)證明是合數(shù)，但還沒有找到任何因子。尚未判定是合數(shù)還是質(zhì)數(shù)的最小費馬數(shù)是F₃₃。 

費馬數(shù)因子網(wǎng)絡(luò)搜尋計劃 　

隨著計算機(jī)的普及，個人電腦開始進(jìn)入千家萬戶。與之伴隨產(chǎn)生的是電腦的利用問題。越來越多的電腦處于閑置狀態(tài)，即使在開機(jī)狀態(tài)下CPU的潛力也遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能被完全利用。而另一方面，需要巨大計算量的各種問題不斷涌現(xiàn)出來。因此在互聯(lián)網(wǎng)上開始出現(xiàn)了眾多的分布式計算計劃。所謂分布式計算是一門計算機(jī)學(xué)科，它研究如何把一個需要非常巨大的計算能力才能解決的問題分成許多小的部分，然后把這些部分分配給許多計算機(jī)進(jìn)行處理，最后把這些計算結(jié)果綜合起來得到最終的結(jié)果。

費馬數(shù)因子網(wǎng)絡(luò)搜尋計劃是這種分布式計算計劃之一。在這項計劃中，人們打算借助網(wǎng)絡(luò)加速對費馬數(shù)的研究。從比較小的費馬數(shù) F₁₂~ F₂₃到一般大小的F₂₄~ F₁₀₀₀再到巨大的費馬數(shù)F₁₀₀₀ ~F₅₀₀₀₀ 都包含在這一龐大的研究計劃之內(nèi)。正是通過這一網(wǎng)絡(luò)合作計劃，人們發(fā)現(xiàn)了許多有關(guān)費馬數(shù)的新的結(jié)果。計算機(jī)出現(xiàn)之前，在近三百年的時間中，人們僅僅找到了16個費馬素因子。而借助于計算機(jī)，借助于費馬數(shù)因子網(wǎng)絡(luò)搜尋計劃，在短短的近半個世紀(jì)，人們已經(jīng)找到了234個費馬素因子！ 　

例如在2003年，人們就找到了8個費馬因數(shù)。2003年10月10日，人們找到了具有746190位數(shù)的費馬素因子：3×2^2478785+1 ，由此人們得到了截止目前為止最大的費馬合數(shù) F_2478782。2003年11月1日又宣布了一項最新成果：發(fā)現(xiàn)了一個新的費馬素因子1054057×2⁸³⁰⁰+1。這同時意味著又一個費馬合數(shù)F₈₂₉₃的產(chǎn)生。